Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdff 18405
 Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdff.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdff (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝑖,𝐼   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑊)
2 dprdff.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 dprdff.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 dprdff.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
52, 3, 4dprdw 18403 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
61, 5mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
76simp1d 1072 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
86simp2d 1073 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
93, 4dprdf2 18400 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
109ffvelrnda 6357 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 dprdff.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211subgss 17589 . . . . . 6 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1413sseld 3600 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1514ralimdva 2961 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
168, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
17 ffnfv 6386 . 2 (𝐹:𝐼𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
187, 16, 17sylanbrc 698 1 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  {crab 2915   ⊆ wss 3572   class class class wbr 4651  dom cdm 5112   Fn wfn 5881  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  Xcixp 7905   finSupp cfsupp 8272  Basecbs 15851  SubGrpcsubg 17582   DProd cdprd 18386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-ixp 7906  df-subg 17585  df-dprd 18388 This theorem is referenced by:  dprdfcntz  18408  dprdssv  18409  dprdfid  18410  dprdfinv  18412  dprdfadd  18413  dprdfsub  18414  dprdfeq0  18415  dprdf11  18416  dprdlub  18419  dmdprdsplitlem  18430  dprddisj2  18432  dpjidcl  18451
 Copyright terms: Public domain W3C validator