MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdff 18405
Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdff.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdff (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝑖,𝐼   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑊)
2 dprdff.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 dprdff.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 dprdff.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
52, 3, 4dprdw 18403 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
61, 5mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
76simp1d 1072 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
86simp2d 1073 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
93, 4dprdf2 18400 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
109ffvelrnda 6357 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 dprdff.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211subgss 17589 . . . . . 6 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1413sseld 3600 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1514ralimdva 2961 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
168, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
17 ffnfv 6386 . 2 (𝐹:𝐼𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
187, 16, 17sylanbrc 698 1 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  {crab 2915  wss 3572   class class class wbr 4651  dom cdm 5112   Fn wfn 5881  wf 5882  cfv 5886  Xcixp 7905   finSupp cfsupp 8272  Basecbs 15851  SubGrpcsubg 17582   DProd cdprd 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-ixp 7906  df-subg 17585  df-dprd 18388
This theorem is referenced by:  dprdfcntz  18408  dprdssv  18409  dprdfid  18410  dprdfinv  18412  dprdfadd  18413  dprdfsub  18414  dprdfeq0  18415  dprdf11  18416  dprdlub  18419  dmdprdsplitlem  18430  dprddisj2  18432  dpjidcl  18451
  Copyright terms: Public domain W3C validator