MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfid 18462
Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3 (𝜑𝑋𝐼)
dprdfid.4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
dprdfid.f 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
dprdfid (𝜑 → (𝐹𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))
Distinct variable groups:   ,𝑛,𝐴   ,𝐹   ,𝑖,𝐺,𝑛   ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,,𝑛   𝑆,,𝑖,𝑛   ,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 eldprdi.w . . . 4 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 eldprdi.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 eldprdi.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5 dprdfid.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
65ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
7 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
87fveq2d 6233 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑋))
96, 8eleqtrrd 2733 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑛))
103, 4dprdf2 18452 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1110ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 eldprdi.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
1312subg0cl 17649 . . . . . . 7 ((𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
1514adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
169, 15ifclda 4153 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆𝑛))
173, 4dprddomcld 18446 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
18 fvex 6239 . . . . . . 7 (0g𝐺) ∈ V
1912, 18eqeltri 2726 . . . . . 6 0 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
21 eqid 2651 . . . . 5 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2217, 20, 21sniffsupp 8356 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
232, 3, 4, 16, 22dprdwd 18456 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
241, 23syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝐹𝑊)
25 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
26 dprdgrp 18450 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
27 grpmnd 17476 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
283, 26, 273syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
29 dprdfid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
302, 3, 4, 24, 25dprdff 18457 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
311oveq1i 6700 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
32 eldifsni 4353 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛𝑋)
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛𝑋)
34 ifnefalse 4131 . . . . . . 7 (𝑛𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
3635, 17suppss2 7374 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
3731, 36syl5eqss 3682 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
3825, 12, 28, 17, 29, 30, 37gsumpt 18407 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))
39 iftrue 4125 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
4039, 1fvmptg 6319 . . . 4 ((𝑋𝐼𝐴 ∈ (𝑆𝑋)) → (𝐹𝑋) = 𝐴)
4129, 5, 40syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐴)
4238, 41eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
4324, 42jca 553 1 (𝜑 → (𝐹𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Xcixp 7950   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  18467  dprdub  18470  dpjrid  18507
  Copyright terms: Public domain W3C validator