Theorem dprdgrp 18325

Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdgrp	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmdprd 18317	. . . . . 6 ⊢ Rel dom DProd
2	1	brrelex2i 5119	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
3		dmexg 7044	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
5		eqid 2621	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
6		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
9	6, 7, 8	dmdprd 18318	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
10	4, 5, 9	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
11	10	ibi 256	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)})))
12	11	simp1d 1071	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  {csn 4148  ∪ cuni 4402   class class class wbr 4613  dom cdm 5074   “ cima 5077  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  0_gc0g 16021  mrClscmrc 16164  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669   DProd cdprd 18313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-ixp 7853  df-dprd 18315

This theorem is referenced by:  dprdssv  18336  dprdfid  18337  dprdfinv  18339  dprdfadd  18340  dprdfsub  18341  dprdfeq0  18342  dprdf11  18343  dprdsubg  18344  dprdlub  18346  dprdspan  18347  dprdres  18348  dprdss  18349  dprdf1o  18352  dmdprdsplitlem  18357  dprdcntz2  18358  dprddisj2  18359  dprd2dlem1  18361  dprd2da  18362  dmdprdsplit2lem  18365  dmdprdsplit2  18366  dpjfval  18375  dpjidcl  18378