Theorem dprdgrp 18604

Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdgrp	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmdprd 18596	. . . . . 6 ⊢ Rel dom DProd
2	1	brrelex2i 5316	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
3		dmexg 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
9	6, 7, 8	dmdprd 18597	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
10	4, 5, 9	sylancl 697	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
11	10	ibi 256	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)})))
12	11	simp1d 1137	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804  dom cdm 5266   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  0_gc0g 16302  mrClscmrc 16445  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789  Cntzccntz 17948   DProd cdprd 18592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-ixp 8075  df-dprd 18594

This theorem is referenced by:  dprdssv  18615  dprdfid  18616  dprdfinv  18618  dprdfadd  18619  dprdfsub  18620  dprdfeq0  18621  dprdf11  18622  dprdsubg  18623  dprdlub  18625  dprdspan  18626  dprdres  18627  dprdss  18628  dprdf1o  18631  dmdprdsplitlem  18636  dprdcntz2  18637  dprddisj2  18638  dprd2dlem1  18640  dprd2da  18641  dmdprdsplit2lem  18644  dmdprdsplit2  18645  dpjfval  18654  dpjidcl  18657