Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdlub 18419
 Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdlub.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2621 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2621 . . . 4 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
53, 4dprdval 18396 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 693 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
7 eqid 2621 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
81adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 18398 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 17423 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 18394 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16 subgsubm 17610 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
182adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
20 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 18405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
22 ffn 6043 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝑓 Fn 𝐼)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 Fn 𝐼)
24 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
2524adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
264, 8, 18, 19dprdfcl 18406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
2725, 26sseldd 3602 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
2827ralrimiva 2965 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
29 ffnfv 6386 . . . . . 6 (𝑓:𝐼𝑇 ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇))
3023, 28, 29sylanbrc 698 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼𝑇)
314, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 18408 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
324, 8, 18, 19dprdffsupp 18407 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
333, 7, 11, 13, 17, 30, 31, 32gsumzsubmcl 18312 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝑇)
34 eqid 2621 . . . 4 (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) = (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓))
3533, 34fmptd 6383 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}⟶𝑇)
36 frn 6051 . . 3 ((𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}⟶𝑇 → ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
3735, 36syl 17 . 2 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
386, 37eqsstrd 3637 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  {crab 2915  Vcvv 3198   ⊆ wss 3572   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  dom cdm 5112  ran crn 5113   Fn wfn 5881  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Xcixp 7905   finSupp cfsupp 8272  Basecbs 15851  0gc0g 16094   Σg cgsu 16095  Mndcmnd 17288  SubMndcsubmnd 17328  Grpcgrp 17416  SubGrpcsubg 17582  Cntzccntz 17742   DProd cdprd 18386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-hash 13113  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-subg 17585  df-cntz 17744  df-dprd 18388 This theorem is referenced by:  dprdspan  18420  dprdz  18423  dprdcntz2  18431  dprd2dlem1  18434  dprdsplit  18441  ablfac1eu  18466
 Copyright terms: Public domain W3C validator