MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdlub 19077
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdlub.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2818 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2818 . . . 4 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
53, 4dprdval 19054 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
7 eqid 2818 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
81adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 19056 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 18048 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 19052 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16 subgsubm 18239 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
182adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
20 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 19063 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
2221ffnd 6508 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 Fn 𝐼)
23 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
2423adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
254, 8, 18, 19dprdfcl 19064 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
2624, 25sseldd 3965 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
2726ralrimiva 3179 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
28 ffnfv 6874 . . . . . 6 (𝑓:𝐼𝑇 ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇))
2922, 27, 28sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼𝑇)
304, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 19066 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
314, 8, 18, 19dprdffsupp 19065 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
323, 7, 11, 13, 17, 29, 30, 31gsumzsubmcl 18967 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝑇)
3332fmpttd 6871 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}⟶𝑇)
3433frnd 6514 . 2 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
356, 34eqsstrd 4002 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Xcixp 8449   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  SubMndcsubmnd 17943  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  Cntzccntz 18383   DProd cdprd 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-dprd 19046
This theorem is referenced by:  dprdspan  19078  dprdz  19081  dprdcntz2  19089  dprd2dlem1  19092  dprdsplit  19099  ablfac1eu  19124
  Copyright terms: Public domain W3C validator