MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdspan 18354
Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dprdspan (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))

Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑆)
2 eqidd 2622 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
3 dprdgrp 18332 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54subgacs 17557 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
6 acsmre 16241 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
73, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
8 dprdf 18333 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ffn 6007 . . . . . . . 8 (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn dom 𝑆)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 Fn dom 𝑆)
11 fniunfv 6465 . . . . . . 7 (𝑆 Fn dom 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆)
13 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
14 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
15 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝑘 ∈ dom 𝑆)
1613, 14, 15dprdub 18352 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1716ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18 iunss 4532 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1917, 18sylibr 224 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
2012, 19eqsstr3d 3624 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
214dprdssv 18343 . . . . 5 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
2220, 21syl6ss 3599 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
23 dprdspan.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2423mrccl 16199 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
257, 22, 24syl2anc 692 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾 ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 eqimss 3641 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
2712, 26syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
28 iunss 4532 . . . . . 6 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
2927, 28sylib 208 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
3029r19.21bi 2927 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
317, 23, 22mrcssidd 16213 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
3231adantr 481 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ran 𝑆 ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
3330, 32sstrd 3597 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
341, 2, 25, 33dprdlub 18353 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
35 dprdsubg 18351 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3623mrcsscl 16208 . . 3 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
377, 20, 35, 36syl3anc 1323 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾 ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3834, 37eqssd 3604 1 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3559   cuni 4407   ciun 4490   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  Moorecmre 16170  mrClscmrc 16171  ACScacs 16173  Grpcgrp 17350  SubGrpcsubg 17516   DProd cdprd 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-ghm 17586  df-gim 17629  df-cntz 17678  df-oppg 17704  df-cmn 18123  df-dprd 18322
This theorem is referenced by:  dprdres  18355  dprdf1o  18359  subgdprd  18362  dprdsn  18363  dprd2dlem1  18368  dprd2da  18369  dprd2db  18370  dmdprdsplit2lem  18372
  Copyright terms: Public domain W3C validator