Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdspan 18354
 Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdspan.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dprdspan (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))

Proof of Theorem dprdspan
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑆)
2 eqidd 2622 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
3 dprdgrp 18332 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54subgacs 17557 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
6 acsmre 16241 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
73, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
8 dprdf 18333 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ffn 6007 . . . . . . . 8 (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn dom 𝑆)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 Fn dom 𝑆)
11 fniunfv 6465 . . . . . . 7 (𝑆 Fn dom 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆)
13 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
14 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
15 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → 𝑘 ∈ dom 𝑆)
1613, 14, 15dprdub 18352 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1716ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
18 iunss 4532 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
1917, 18sylibr 224 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
2012, 19eqsstr3d 3624 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
214dprdssv 18343 . . . . 5 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
2220, 21syl6ss 3599 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
23 dprdspan.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2423mrccl 16199 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ran 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
257, 22, 24syl2anc 692 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾 ran 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 eqimss 3641 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) = ran 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
2712, 26syl 17 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
28 iunss 4532 . . . . . 6 ( 𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
2927, 28sylib 208 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
3029r19.21bi 2927 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ ran 𝑆)
317, 23, 22mrcssidd 16213 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 ran 𝑆 ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
3231adantr 481 . . . 4 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ran 𝑆 ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
3330, 32sstrd 3597 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
341, 2, 25, 33dprdlub 18353 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐾 ran 𝑆))
35 dprdsubg 18351 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3623mrcsscl 16208 . . 3 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ran 𝑆 ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
377, 20, 35, 36syl3anc 1323 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐾 ran 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3834, 37eqssd 3604 1 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾 ran 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ⊆ wss 3559  ∪ cuni 4407  ∪ ciun 4490   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080   Fn wfn 5847  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  Moorecmre 16170  mrClscmrc 16171  ACScacs 16173  Grpcgrp 17350  SubGrpcsubg 17516   DProd cdprd 18320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-ghm 17586  df-gim 17629  df-cntz 17678  df-oppg 17704  df-cmn 18123  df-dprd 18322 This theorem is referenced by:  dprdres  18355  dprdf1o  18359  subgdprd  18362  dprdsn  18363  dprd2dlem1  18368  dprd2da  18369  dprd2db  18370  dmdprdsplit2lem  18372
 Copyright terms: Public domain W3C validator