MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdssv 18347
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdssv (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
2 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2621 . . . . 5 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
42, 3eldprd 18335 . . . 4 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6 dprdssv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2621 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8 dprdgrp 18336 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 17361 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Mnd)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
12 reldmdprd 18328 . . . . . . . . . 10 Rel dom DProd
1312brrelex2i 5124 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 ∈ V)
14 dmexg 7051 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
17 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
18 eqidd 2622 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
19 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
203, 17, 18, 19, 6dprdff 18343 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆𝐵)
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 18346 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
223, 17, 18, 19dprdffsupp 18345 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 18244 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
24 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
2523, 24syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2625rexlimdva 3025 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2726imp 445 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥𝐵)
285, 27sylbi 207 . 2 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥𝐵)
2928ssriv 3591 1 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189  wss 3559   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  Xcixp 7860   finSupp cfsupp 8227  Basecbs 15792  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  Mndcmnd 17226  Grpcgrp 17354  Cntzccntz 17680   DProd cdprd 18324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-subg 17523  df-cntz 17682  df-dprd 18326
This theorem is referenced by:  dprdfsub  18352  dprdf11  18354  dprdsubg  18355  dprdspan  18358  dprdcntz2  18369  dprd2da  18373  dmdprdsplit2lem  18376  ablfac1c  18402  ablfac1eulem  18403  ablfac1eu  18404
  Copyright terms: Public domain W3C validator