MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdssv 19067
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdssv (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
2 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2818 . . . . 5 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
42, 3eldprd 19055 . . . 4 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6 dprdssv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2818 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8 dprdgrp 19056 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 18048 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Mnd)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
12 reldmdprd 19048 . . . . . . . . . 10 Rel dom DProd
1312brrelex2i 5602 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 ∈ V)
1413dmexd 7604 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
16 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
17 eqidd 2819 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
18 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
193, 16, 17, 18, 6dprdff 19063 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆𝐵)
203, 16, 17, 18, 7dprdfcntz 19066 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
213, 16, 17, 18dprdffsupp 19065 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
226, 2, 7, 11, 15, 19, 20, 21gsumzcl 18960 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
23 eleq1 2897 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
2422, 23syl5ibrcom 248 . . . . 5 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2524rexlimdva 3281 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2625imp 407 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥𝐵)
275, 26sylbi 218 . 2 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥𝐵)
2827ssriv 3968 1 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Xcixp 8449   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041  Cntzccntz 18383   DProd cdprd 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-dprd 19046
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19072  dprdf11  19074  dprdsubg  19075  dprdspan  19078  dprdcntz2  19089  dprd2da  19093  dmdprdsplit2lem  19096  ablfac1c  19122  ablfac1eulem  19123  ablfac1eu  19124
  Copyright terms: Public domain W3C validator