MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdw 18330
Description: The property of being a finitely supported function in the family 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdw (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝐹   𝑥,𝐺   ,𝑖,𝐼,𝑥   0 ,   𝜑,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(𝑥,,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem dprdw
StepHypRef Expression
1 elex 3198 . . . . 5 (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) → 𝐹 ∈ V)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) → 𝐹 ∈ V))
3 dprdff.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 dprdff.2 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
53, 4dprddomcld 18321 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
6 fnex 6435 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐼𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
76expcom 451 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝐹 Fn 𝐼𝐹 ∈ V))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼𝐹 ∈ V))
98adantrd 484 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) → 𝐹 ∈ V))
10 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝑥))
1110cbvixpv 7870 . . . . . . . 8 X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) = X𝑥𝐼 (𝑆𝑥)
1211eleq2i 2690 . . . . . . 7 (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ 𝐹X𝑥𝐼 (𝑆𝑥))
13 elixp2 7856 . . . . . . 7 (𝐹X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)))
14 3anass 1040 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1512, 13, 143bitri 286 . . . . . 6 (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1615baib 943 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ V → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)))))
182, 9, 17pm5.21ndd 369 . . 3 (𝜑 → (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))))
1918anbi1d 740 . 2 (𝜑 → ((𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ↔ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
20 breq1 4616 . . 3 ( = 𝐹 → ( finSupp 0𝐹 finSupp 0 ))
21 dprdff.w . . 3 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2220, 21elrab2 3348 . 2 (𝐹𝑊 ↔ (𝐹X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
23 df-3an 1038 . 2 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ↔ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
2419, 22, 233bitr4g 303 1 (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  cfv 5847  Xcixp 7852   finSupp cfsupp 8219   DProd cdprd 18313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-ixp 7853  df-dprd 18315
This theorem is referenced by:  dprdff  18332  dprdfcl  18333  dprdffsupp  18334  dprdsubg  18344
  Copyright terms: Public domain W3C validator