Theorem dprdz 19146

Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dprdz

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2		dprd0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	2	0subg 18298	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	fmpttd 6874	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9, 2	grpidcl 18125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	10	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	snssd 4736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
13	9, 1	cntzsubg 18461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	2	subg0cl 18281	. . . . . . 7 ⊢ (((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
17	16	snssd 4736	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
18	17	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
19		simpr1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → { 0 } = { 0 })
21		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
22		snex 5324	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt3i 6768	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
25		simpr2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
26		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → { 0 } = { 0 })
27	26, 21, 22	fvmpt3i 6768	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
29	28	fveq2d 6669	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)) = ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
30	18, 24, 29	3sstr4d 4014	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)))
31	23	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
32	31	ineq1d 4188	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))))
33	9	subgacs 18307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
34	33	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
35	34	acsmred 16921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
36		imassrn 5935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
37	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
38	37	frnd 6516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
39		mresspw 16857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
41	38, 40	sstrd 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
42	36, 41	sstrid 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
43		sspwuni 5015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
44	42, 43	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
45	3	mrccl 16876	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	35, 44, 45	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	2	subg0cl 18281	. . . . . . . 8 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
49	48	snssd 4736	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
50		df-ss 3952	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
51	49, 50	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
52	32, 51	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
53		eqimss 4023	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 } → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
55	1, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54	dmdprdd 19115	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }))
56	21, 7	dmmptd 6488	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
57	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
58		eqimss 4023	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 } → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
59	31, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
60	55, 56, 57, 59	dprdlub 19142	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ⊆ { 0 })
61		dprdsubg 19140	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺))
62	2	subg0cl 18281	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
63	55, 61, 62	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
64	63	snssd 4736	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
65	60, 64	eqssd 3984	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
66	55, 65	jca 514	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  {csn 4561  ∪ cuni 4832   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  dom cdm 5550  ran crn 5551   “ cima 5553  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  Moorecmre 16847  mrClscmrc 16848  ACScacs 16850  Grpcgrp 18097  SubGrpcsubg 18267  Cntzccntz 18439   DProd cdprd 19109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-gim 18393  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-cmn 18902  df-dprd 19111

This theorem is referenced by:  dprd0  19147