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Theorem dquart 24497
Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate 𝑆, which is the square root of a solution 𝑀 to the resolvent cubic equation, apply cubic 24493 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
dquart.j (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
dquart.j2 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
dquart (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽)))))

Proof of Theorem dquart
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
21sqcld 12954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3 dquart.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
4 2cn 11043 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
5 dquart.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
6 mulcl 9972 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
87sqcld 12954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
93, 8eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 dquart.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 10011 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
1211halfcld 11229 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
13 binom2 12927 . . . . . . . 8 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
142, 12, 13syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
15 2t2e4 11129 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
1615oveq2i 6621 . . . . . . . . . . 11 (𝑋↑(2 · 2)) = (𝑋↑4)
17 2nn0 11261 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
191, 18, 18expmuld 12959 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑(2 · 2)) = ((𝑋↑2)↑2))
2016, 19syl5reqr 2670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋↑2)↑2) = (𝑋↑4))
214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2221, 2, 12mul12d 10197 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))))
23 2ne0 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2511, 21, 24divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2)) = (𝑀 + 𝐵))
2625oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑋↑2) · (𝑀 + 𝐵)))
272, 11mulcomd 10013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑀 + 𝐵)) = ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)))
2826, 27eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)))
299, 10, 2adddird 10017 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2))))
3022, 28, 293eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2))))
3120, 30oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) = ((𝑋↑4) + ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
32 4nn0 11263 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
33 expcl 12826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
341, 32, 33sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
359, 2mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
3610, 2mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
3734, 35, 36add12d 10214 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋↑4) + ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
3831, 37eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
3938oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
4034, 36addcld 10011 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
4112sqcld 12954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) ∈ ℂ)
4235, 40, 41addassd 10014 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))))
4314, 39, 423eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))))
449halfcld 11229 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
4544, 1mulcld 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
46 dquart.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
47 4cn 11050 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
49 4ne0 11069 . . . . . . . . . . . . 13 4 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ≠ 0)
5146, 48, 50divcld 10753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 / 4) ∈ ℂ)
5245, 51subcld 10344 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) ∈ ℂ)
53 dquart.m0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ≠ 0)
543, 53eqnetrrd 2858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0)
55 sqne0 12878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
567, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
5754, 56mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑆) ≠ 0)
58 mulne0b 10620 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
594, 5, 58sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
6057, 59mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
6160simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ≠ 0)
6252, 5, 21, 61, 24divcan5d 10779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) / (2 · 𝑆)) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))
6321, 45, 51subdid 10438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) = ((2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) − (2 · (𝐶 / 4))))
6421, 44, 1mulassd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑀 / 2)) · 𝑋) = (2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)))
659, 21, 24divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (𝑀 / 2)) = 𝑀)
6665oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑀 / 2)) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
6764, 66eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
6821, 46, 48, 50divassd 10788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 4) = (2 · (𝐶 / 4)))
6915oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐶) / (2 · 2)) = ((2 · 𝐶) / 4)
7046, 21, 21, 24, 24divcan5d 10779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / (2 · 2)) = (𝐶 / 2))
7169, 70syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 4) = (𝐶 / 2))
7268, 71eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝐶 / 4)) = (𝐶 / 2))
7367, 72oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) − (2 · (𝐶 / 4))) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)))
7463, 73eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)))
7574oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) / (2 · 𝑆)) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆)))
7662, 75eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆)))
7776oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆))↑2))
789, 1mulcld 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ ℂ)
7946halfcld 11229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℂ)
8078, 79subcld 10344 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) ∈ ℂ)
8180, 7, 57sqdivd 12969 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)))
829sqcld 12954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
8382, 2mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
8478, 46mulcld 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) ∈ ℂ)
8583, 84subcld 10344 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) ∈ ℂ)
8646sqcld 12954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8786, 48, 50divcld 10753 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
8885, 87, 9, 53divdird 10791 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) / 𝑀) = (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
89 binom2sub 12929 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℂ) → (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)))
9078, 79, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)))
919, 1sqmuld 12968 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋)↑2) = ((𝑀↑2) · (𝑋↑2)))
9221, 78, 79mul12d 10197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · (2 · (𝐶 / 2))))
9346, 21, 24divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (𝐶 / 2)) = 𝐶)
9493oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · (2 · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶))
9592, 94eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶))
9691, 95oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) = (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)))
9746, 21, 24sqdivd 12969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 / 2)↑2) = ((𝐶↑2) / (2↑2)))
98 sq2 12908 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
9998oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶↑2) / (2↑2)) = ((𝐶↑2) / 4)
10097, 99syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 / 2)↑2) = ((𝐶↑2) / 4))
10196, 100oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)) = ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)))
10290, 101eqtr2d 2656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2))
103102, 3oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) / 𝑀) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)))
10483, 84, 9, 53divsubdird 10792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) = ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) − (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀)))
10582, 2, 9, 53div23d 10790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) = (((𝑀↑2) / 𝑀) · (𝑋↑2)))
1069sqvald 12953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
107106oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 𝑀) = ((𝑀 · 𝑀) / 𝑀))
1089, 9, 53divcan3d 10758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑀) / 𝑀) = 𝑀)
109107, 108eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 𝑀) = 𝑀)
110109oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 𝑀) · (𝑋↑2)) = (𝑀 · (𝑋↑2)))
111105, 110eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) = (𝑀 · (𝑋↑2)))
1129, 1, 46mul32d 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) = ((𝑀 · 𝐶) · 𝑋))
1139, 46, 1mulassd 10015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 · 𝐶) · 𝑋) = (𝑀 · (𝐶 · 𝑋)))
114112, 113eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) = (𝑀 · (𝐶 · 𝑋)))
115114oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀) = ((𝑀 · (𝐶 · 𝑋)) / 𝑀))
11646, 1mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
117116, 9, 53divcan3d 10758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 · (𝐶 · 𝑋)) / 𝑀) = (𝐶 · 𝑋))
118115, 117eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀) = (𝐶 · 𝑋))
119111, 118oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) − (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)))
120104, 119eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)))
121120oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
12287, 9, 53divcld 10753 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
12335, 116, 122subsubd 10372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
124121, 123eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
12588, 103, 1243eqtr3d 2663 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
12677, 81, 1253eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
12743, 126oveq12d 6628 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))) − ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))))
12840, 41addcld 10011 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) ∈ ℂ)
129116, 122subcld 10344 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
13035, 128, 129pnncand 10383 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))) − ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
131122negcld 10331 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
13240, 41, 116, 131add4d 10216 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
133116, 122negsubd 10350 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
134133oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
13541, 122negsubd 10350 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
136 dquart.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
137 dquart.i2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
138 dquart.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
139 dquart.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
14010, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137, 138, 139dquartlem2 24496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
141135, 140eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
142141oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + 𝐷))
14340, 116, 138addassd 10014 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + 𝐷) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
144142, 143eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
145132, 134, 1443eqtr3d 2663 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
146127, 130, 1453eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
1472, 12addcld 10011 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14852, 5, 61divcld 10753 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ)
149 subsq 12920 . . . . 5 ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ) → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
150147, 148, 149syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
151146, 150eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
152151eqeq1d 2623 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) = 0))
153147, 148addcld 10011 . . 3 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
154147, 148subcld 10344 . . 3 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
155153, 154mul0ord 10629 . 2 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) = 0 ↔ ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ∨ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0)))
15610, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137dquartlem1 24495 . . 3 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
1575negcld 10331 . . . . 5 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
158 sqneg 12871 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (-(2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 𝑆)↑2))
1597, 158syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 𝑆)↑2))
1603, 159eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (-(2 · 𝑆)↑2))
161 mulneg2 10419 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · -𝑆) = -(2 · 𝑆))
1624, 5, 161sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · -𝑆) = -(2 · 𝑆))
163162oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · -𝑆)↑2) = (-(2 · 𝑆)↑2))
164160, 163eqtr4d 2658 . . . . 5 (𝜑𝑀 = ((2 · -𝑆)↑2))
165 dquart.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
166 dquart.j2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
1675sqcld 12954 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
168167negcld 10331 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
16910halfcld 11229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℂ)
170168, 169subcld 10344 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
17151, 5, 61divcld 10753 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
172170, 171negsubd 10350 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + -((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
173 sqneg 12871 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℂ → (-𝑆↑2) = (𝑆↑2))
1745, 173syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-𝑆↑2) = (𝑆↑2))
175174eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆↑2) = (-𝑆↑2))
176175negeqd 10227 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑆↑2) = -(-𝑆↑2))
177176oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) = (-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)))
17851, 5, 61divneg2d 10767 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝐶 / 4) / 𝑆) = ((𝐶 / 4) / -𝑆))
179177, 178oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + -((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / -𝑆)))
180166, 172, 1793eqtr2d 2661 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / -𝑆)))
18110, 46, 1, 157, 164, 53, 165, 180dquartlem1 24495 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (--𝑆𝐽))))
18252, 5, 61divneg2d 10767 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆))
183182oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)))
184147, 148negsubd 10350 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)))
185183, 184eqtr3d 2657 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)))
186185eqeq1d 2623 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = 0 ↔ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0))
1875negnegd 10335 . . . . . . 7 (𝜑 → --𝑆 = 𝑆)
188187oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝜑 → (--𝑆 + 𝐽) = (𝑆 + 𝐽))
189188eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ↔ 𝑋 = (𝑆 + 𝐽)))
190187oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝜑 → (--𝑆𝐽) = (𝑆𝐽))
191190eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = (--𝑆𝐽) ↔ 𝑋 = (𝑆𝐽)))
192189, 191orbi12d 745 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (--𝑆𝐽)) ↔ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽))))
193181, 186, 1923bitr3d 298 . . 3 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽))))
194156, 193orbi12d 745 . 2 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ∨ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0) ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽)))))
195152, 155, 1943bitrd 294 1 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888   + caddc 9891   · cmul 9893  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  0cn0 11244  cexp 12808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-seq 12750  df-exp 12809
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