Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dquartlem2 24479
 Description: Lemma for dquart 24480. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
Assertion
Ref Expression
dquartlem2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
2 2cn 11035 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3 dquart.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
4 mulcl 9964 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
65sqcld 12946 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
71, 6eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8 dquart.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
97, 8addcld 10003 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
102a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11 2ne0 11057 . . . . . 6 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
139, 10, 12sqdivd 12961 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)))
14 sq2 12900 . . . . 5 (2↑2) = 4
1514oveq2i 6615 . . . 4 (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4)
1613, 15syl6eq 2671 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4))
1716oveq1d 6619 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
189sqcld 12946 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
19 4cn 11042 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21 4ne0 11061 . . . . . 6 4 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2318, 20, 22divcld 10745 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) ∈ ℂ)
24 dquart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2524sqcld 12946 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
2625, 20, 22divcld 10745 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
27 dquart.m0 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
2826, 7, 27divcld 10745 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
2923, 28subcld 10336 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
30 dquart.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3123, 28, 7subdird 10431 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)))
3218, 7, 20, 22div23d 10782 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀))
3332eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4))
3426, 7, 27divcan1d 10746 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀) = ((𝐶↑2) / 4))
3533, 34oveq12d 6622 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
36 binom2 12919 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
377, 8, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
3837oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀))
397sqcld 12946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
407, 8mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ)
41 mulcl 9964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
422, 40, 41sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
4339, 42addcld 10003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) ∈ ℂ)
448sqcld 12946 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 7adddird 10009 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
4639, 42, 7adddird 10009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)))
47 df-3 11024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
4847oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀↑3) = (𝑀↑(2 + 1))
49 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
50 expp1 12807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
517, 49, 50sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
5248, 51syl5req 2668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
53 mulcl 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
542, 8, 53sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5554, 7, 7mulassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
5610, 7, 8mulassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = (2 · (𝑀 · 𝐵)))
5710, 7, 8mul32d 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5856, 57eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5958oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀))
607sqvald 12945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
6160oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
6255, 59, 613eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)))
6352, 62oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6446, 63eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6564oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6638, 45, 653eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6766oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
68 3nn0 11254 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
69 expcl 12818 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
707, 68, 69sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
7154, 39mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
7270, 71addcld 10003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
7344, 7mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
74 mulcl 9964 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7519, 30, 74sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7675, 7mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ)
7772, 73, 76addsubassd 10356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
7844, 75, 7subdird 10431 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) = (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
7978oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
8077, 79eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)))
8144, 75subcld 10336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) ∈ ℂ)
8281, 7mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) ∈ ℂ)
8372, 82addcld 10003 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) ∈ ℂ)
8425negcld 10323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝐶↑2) ∈ ℂ)
8572, 82, 84addassd 10006 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))))
8683, 25negsubd 10342 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)))
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
8885, 86, 873eqtr3d 2663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)) = 0)
8983, 25, 88subeq0d 10344 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9067, 80, 893eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9118, 7mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
92 subsub23 10230 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ) → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9391, 76, 25, 92syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9490, 93mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀))
9520, 30, 7mulassd 10007 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9694, 95eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9796oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4))
9891, 25, 20, 22divsubdird 10784 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
9930, 7mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝑀) ∈ ℂ)
10099, 20, 22divcan3d 10750 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4) = (𝐷 · 𝑀))
10197, 98, 1003eqtr3d 2663 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)) = (𝐷 · 𝑀))
10231, 35, 1013eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (𝐷 · 𝑀))
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 10607 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
10417, 103eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  ℕ0cn0 11236  ↑cexp 12800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801 This theorem is referenced by:  dquart  24480
 Copyright terms: Public domain W3C validator