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Theorem dquartlem2 25357
Description: Lemma for dquart 25358. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
Assertion
Ref Expression
dquartlem2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)

Proof of Theorem dquartlem2
StepHypRef Expression
1 dquart.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
2 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3 dquart.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
4 mulcl 10609 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
65sqcld 13496 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
71, 6eqeltrd 2910 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8 dquart.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
97, 8addcld 10648 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
102a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
11 2ne0 11729 . . . . . 6 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
139, 10, 12sqdivd 13511 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)))
14 sq2 13548 . . . . 5 (2↑2) = 4
1514oveq2i 7156 . . . 4 (((𝑀 + 𝐵)↑2) / (2↑2)) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4)
1613, 15syl6eq 2869 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) = (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4))
1716oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
189sqcld 13496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
19 4cn 11710 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21 4ne0 11733 . . . . . 6 4 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2318, 20, 22divcld 11404 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) ∈ ℂ)
24 dquart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2524sqcld 13496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
2625, 20, 22divcld 11404 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
27 dquart.m0 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
2826, 7, 27divcld 11404 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
2923, 28subcld 10985 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
30 dquart.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3123, 28, 7subdird 11085 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)))
3218, 7, 20, 22div23d 11441 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀))
3332eqcomd 2824 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) = ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4))
3426, 7, 27divcan1d 11405 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀) = ((𝐶↑2) / 4))
3533, 34oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) · 𝑀) − ((((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) · 𝑀)) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
36 binom2 13567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
377, 8, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵)↑2) = (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
3837oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀))
397sqcld 13496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
407, 8mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ)
41 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
422, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) ∈ ℂ)
4339, 42addcld 10648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) ∈ ℂ)
448sqcld 13496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 7adddird 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝑀) = ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
4639, 42, 7adddird 10654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)))
47 df-3 11689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
4847oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀↑3) = (𝑀↑(2 + 1))
49 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
50 expp1 13424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
517, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(2 + 1)) = ((𝑀↑2) · 𝑀))
5248, 51syl5req 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑2) · 𝑀) = (𝑀↑3))
53 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
542, 8, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5554, 7, 7mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
5610, 7, 8mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = (2 · (𝑀 · 𝐵)))
5710, 7, 8mul32d 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑀) · 𝐵) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5856, 57eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝐵)) = ((2 · 𝐵) · 𝑀))
5958oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = (((2 · 𝐵) · 𝑀) · 𝑀))
607sqvald 13495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
6160oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) = ((2 · 𝐵) · (𝑀 · 𝑀)))
6255, 59, 613eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀) = ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)))
6352, 62oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) · 𝑀) + ((2 · (𝑀 · 𝐵)) · 𝑀)) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6446, 63eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) = ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))))
6564oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) + (2 · (𝑀 · 𝐵))) · 𝑀) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6638, 45, 653eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)))
6766oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
68 3nn0 11903 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
69 expcl 13435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
707, 68, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
7154, 39mulcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2)) ∈ ℂ)
7270, 71addcld 10648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) ∈ ℂ)
7344, 7mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
74 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7519, 30, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 · 𝐷) ∈ ℂ)
7675, 7mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ)
7772, 73, 76addsubassd 11005 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
7844, 75, 7subdird 11085 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) = (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
7978oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀))))
8077, 79eqtr4d 2856 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((𝐵↑2) · 𝑀)) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)))
8144, 75subcld 10985 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) ∈ ℂ)
8281, 7mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) ∈ ℂ)
8372, 82addcld 10648 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) ∈ ℂ)
8425negcld 10972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝐶↑2) ∈ ℂ)
8572, 82, 84addassd 10651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))))
8683, 25negsubd 10991 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) + -(𝐶↑2)) = ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)))
87 dquart.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
8885, 86, 873eqtr3d 2861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) − (𝐶↑2)) = 0)
8983, 25, 88subeq0d 10993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + (((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9067, 80, 893eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2))
9118, 7mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ)
92 subsub23 10879 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ ((4 · 𝐷) · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ) → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9391, 76, 25, 92syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − ((4 · 𝐷) · 𝑀)) = (𝐶↑2) ↔ ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀)))
9490, 93mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = ((4 · 𝐷) · 𝑀))
9520, 30, 7mulassd 10652 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · 𝐷) · 𝑀) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9694, 95eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) = (4 · (𝐷 · 𝑀)))
9796oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4))
9891, 25, 20, 22divsubdird 11443 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) − (𝐶↑2)) / 4) = (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)))
9930, 7mulcld 10649 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝑀) ∈ ℂ)
10099, 20, 22divcan3d 11409 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · (𝐷 · 𝑀)) / 4) = (𝐷 · 𝑀))
10197, 98, 1003eqtr3d 2861 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) · 𝑀) / 4) − ((𝐶↑2) / 4)) = (𝐷 · 𝑀))
10231, 35, 1013eqtrd 2857 . . 3 (𝜑 → (((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) · 𝑀) = (𝐷 · 𝑀))
10329, 30, 7, 27, 102mulcan2ad 11264 . 2 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵)↑2) / 4) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
10417, 103eqtrd 2853 1 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  0cn0 11885  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  dquart  25358
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