Theorem drnginvrcl 19513

Description: Closure of the multiplicative inverse in a division ring. (reccl 11299 analog.) (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
invrcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnginvrcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem drnginvrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		invrcl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngunit 19501	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))
5		drngring 19503	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6		invrcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 6, 1	ringinvcl 19420	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
10	4, 9	sylbird 262	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
11	10	3impib 1112	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  Ringcrg 19291  Unitcui 19383  inv_rcinvr 19415  DivRingcdr 19496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498

This theorem is referenced by:  drngmul0or  19517  sdrgacs  19574  cntzsdrg  19575  abvrec  19601  abvdiv  19602  lvecvs0or  19874  lssvs0or  19876  lvecinv  19879  lspsnvs  19880  lspfixed  19894  lspexch  19895  lspsolv  19909  drngnidl  19996  matunitlindflem1  34882  lfl1  36200  eqlkr3  36231  lkrlsp  36232  tendoinvcl  38234  dochkr1  38608  dochkr1OLDN  38609  lcfl7lem  38629  lclkrlem2m  38649  lclkrlem2o  38651  lclkrlem2p  38652  lcfrlem1  38672  lcfrlem2  38673  lcfrlem3  38674  lcfrlem29  38701  lcfrlem31  38703  lcfrlem33  38705  mapdpglem17N  38818  mapdpglem18  38819  mapdpglem19  38820  mapdpglem21  38822  mapdpglem22  38823  hdmapip1  39046  hgmapvvlem1  39053  hgmapvvlem2  39054  hgmapvvlem3  39055  prjspersym  39250