MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drnginvrn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drnginvrn0 18536
Description: The multiplicative inverse in a division ring is nonzero. (recne0 10549 analog.) (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrcl.z 0 = (0g𝑅)
invrcl.i 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
drnginvrn0 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ≠ 0 )

Proof of Theorem drnginvrn0
StepHypRef Expression
1 drngring 18525 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2609 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 invrcl.i . . . . . . 7 𝐼 = (invr𝑅)
42, 3unitinvcl 18445 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
54ex 448 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
61, 5syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
7 invrcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 invrcl.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
97, 2, 8drngunit 18523 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑋𝐵𝑋0 )))
107, 2, 8drngunit 18523 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼𝑋) ≠ 0 )))
116, 9, 103imtr3d 280 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑋𝐵𝑋0 ) → ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼𝑋) ≠ 0 )))
12113impib 1253 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼𝑋) ≠ 0 ))
1312simprd 477 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cfv 5789  Basecbs 15643  0gc0g 15871  Ringcrg 18318  Unitcui 18410  invrcinvr 18442  DivRingcdr 18518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-0g 15873  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-drng 18520
This theorem is referenced by:  lspfixed  18897  tendoinvcl  35194  dochkr1  35568  lcfrlem31  35663  mapdpglem18  35779  mapdpglem22  35783  hgmapvvlem2  36017
  Copyright terms: Public domain W3C validator