MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmulne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngmulne0 18540
Description: A product is nonzero iff both its factors are nonzero. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmuleq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o 0 = (0g𝑅)
drngmuleq0.t · = (.r𝑅)
drngmuleq0.r (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x (𝜑𝑋𝐵)
drngmuleq0.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
drngmulne0 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋0𝑌0 )))

Proof of Theorem drngmulne0
StepHypRef Expression
1 drngmuleq0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 drngmuleq0.o . . . 4 0 = (0g𝑅)
3 drngmuleq0.t . . . 4 · = (.r𝑅)
4 drngmuleq0.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
5 drngmuleq0.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
6 drngmuleq0.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6drngmul0or 18539 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
87necon3abid 2817 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
9 neanior 2873 . 2 ((𝑋0𝑌0 ) ↔ ¬ (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))
108, 9syl6bbr 276 1 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋0𝑌0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  .rcmulr 15717  0gc0g 15871  DivRingcdr 18518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-0g 15873  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-drng 18520
This theorem is referenced by:  orngmullt  28933  lcfrlem31  35663
  Copyright terms: Public domain W3C validator