MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngpropd 18690
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drngpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
drngpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
drngpropd (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd
StepHypRef Expression
1 drngpropd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 drngpropd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 drngpropd.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
41, 2, 3unitpropd 18613 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
61, 2eqtr3d 2662 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
81adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
92adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10 drngpropd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
1110adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
128, 9, 11grpidpropd 17177 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (0g𝐾) = (0g𝐿))
1312sneqd 4165 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → {(0g𝐾)} = {(0g𝐿)})
147, 13difeq12d 3712 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))
155, 14eqeq12d 2641 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
1615pm5.32da 672 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
171, 2, 10, 3ringpropd 18498 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1817anbi1d 740 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
1916, 18bitrd 268 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
20 eqid 2626 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 eqid 2626 . . 3 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22 eqid 2626 . . 3 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2320, 21, 22isdrng 18667 . 2 (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})))
24 eqid 2626 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25 eqid 2626 . . 3 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26 eqid 2626 . . 3 (0g𝐿) = (0g𝐿)
2724, 25, 26isdrng 18667 . 2 (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
2819, 23, 273bitr4g 303 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cdif 3557  {csn 4153  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  .rcmulr 15858  0gc0g 16016  Ringcrg 18463  Unitcui 18555  DivRingcdr 18663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-drng 18665
This theorem is referenced by:  fldpropd  18691  lvecprop2d  19080  hlhildrng  36710
  Copyright terms: Public domain W3C validator