Theorem drngring 18802

Description: A division ring is a ring. (Contributed by NM, 8-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
drngring	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem drngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2651	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 18799	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
5	4	simplbi 475	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  0_gc0g 16147  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  DivRingcdr 18795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-iota 5889  df-fv 5934  df-drng 18797

This theorem is referenced by:  drnggrp  18803  drngid  18809  drngunz  18810  drnginvrcl  18812  drnginvrn0  18813  drnginvrl  18814  drnginvrr  18815  drngmul0or  18816  abvtriv  18889  rlmlvec  19254  drngnidl  19277  drnglpir  19301  drngnzr  19310  drngdomn  19351  qsssubdrg  19853  frlmphllem  20167  frlmphl  20168  cvsdivcl  22979  qcvs  22993  cphsubrglem  23023  rrxcph  23226  drnguc1p  23975  ig1peu  23976  ig1pcl  23980  ig1pdvds  23981  ig1prsp  23982  ply1lpir  23983  padicabv  25364  ofldchr  29942  reofld  29968  rearchi  29970  xrge0slmod  29972  zrhunitpreima  30150  elzrhunit  30151  qqhval2lem  30153  qqh0  30156  qqh1  30157  qqhf  30158  qqhghm  30160  qqhrhm  30161  qqhnm  30162  qqhucn  30164  zrhre  30191  qqhre  30192  lindsdom  33533  lindsenlbs  33534  matunitlindflem1  33535  matunitlindflem2  33536  matunitlindf  33537  dvalveclem  36631  dvhlveclem  36714  hlhilsrnglem  37562  sdrgacs  38088  cntzsdrg  38089  drhmsubc  42405  drngcat  42406  drhmsubcALTV  42423  drngcatALTV  42424  aacllem  42875