MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drsdirfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drsdirfi 17536
Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 17527 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
drsdirfi ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
21anbi2d 628 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3 raleq 3403 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
43rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
52, 4imbi12d 346 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)))
6 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
76anbi2d 628 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵)))
8 raleq 3403 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
98rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
107, 9imbi12d 346 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦)))
11 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
1211anbi2d 628 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13 raleq 3403 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1413rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1512, 14imbi12d 346 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
16 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎𝐵𝑋𝐵))
1716anbi2d 628 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵)))
18 raleq 3403 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
1918rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
2017, 19imbi12d 346 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)))
21 drsbn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2221drsbn0 17535 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23 ral0 4452 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦
2423jctr 525 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2524eximi 1826 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
26 n0 4307 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
27 df-rex 3141 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2825, 26, 273imtr4i 293 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
2922, 28syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
31 ssun1 4145 . . . . . . . . 9 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32 sstr 3972 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏𝐵)
3331, 32mpan 686 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑏𝐵)
3433anim2i 616 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵))
35 breq2 5061 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑧 𝑎))
3635ralbidv 3194 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎))
3736cbvrexvw 3448 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
38 simplrr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
39 drsprs 17534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
4039ad5antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝐾 ∈ Proset )
4133ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) → 𝑏𝐵)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑏𝐵)
4342sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → 𝑧𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧𝐵)
45 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎𝐵)
46 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑦𝐵)
4746ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑦𝐵)
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑎)
49 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑎 𝑦)
5049ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎 𝑦)
51 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
5221, 51prstr 17531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Proset ∧ (𝑧𝐵𝑎𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧 𝑎𝑎 𝑦)) → 𝑧 𝑦)
5340, 44, 45, 47, 48, 50, 52syl132anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑦)
5453ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → (𝑧 𝑎𝑧 𝑦))
5554ralimdva 3174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5655adantlrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5738, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦)
58 simprrr 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑐 𝑦)
59 vex 3495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
60 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 𝑦𝑐 𝑦))
6159, 60ralsn 4611 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦𝑐 𝑦)
6258, 61sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦)
63 ralun 4165 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
6457, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
65 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑎𝐵)
67 ssun2 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68 sstr 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
6967, 68mpan 686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
7059snss 4710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
7169, 70sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑐𝐵)
7271ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑐𝐵)
7321, 51drsdir 17533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7465, 66, 72, 73syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7564, 74reximddv 3272 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
7675rexlimdvaa 3282 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7737, 76syl5bi 243 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7834, 77embantd 59 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7978com12 32 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
8079a1i 11 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
815, 10, 15, 20, 30, 80findcard2 8746 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
8281com12 32 . 2 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
83823impia 1109 1 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  Fincfn 8497  Basecbs 16471  lecple 16560   Proset cproset 17524  Dirsetcdrs 17525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-proset 17526  df-drs 17527
This theorem is referenced by:  isdrs2  17537  ipodrsfi  17761
  Copyright terms: Public domain W3C validator