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Theorem drsdirfi 17139
Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 17130 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
drsdirfi ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3767 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
21anbi2d 742 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3 raleq 3277 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
43rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
52, 4imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)))
6 sseq1 3767 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
76anbi2d 742 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵)))
8 raleq 3277 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
98rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
107, 9imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦)))
11 sseq1 3767 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
1211anbi2d 742 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13 raleq 3277 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1413rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1512, 14imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
16 sseq1 3767 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎𝐵𝑋𝐵))
1716anbi2d 742 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵)))
18 raleq 3277 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
1918rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
2017, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)))
21 drsbn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2221drsbn0 17138 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23 ral0 4220 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦
2423jctr 566 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2524eximi 1911 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
26 n0 4074 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
27 df-rex 3056 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2825, 26, 273imtr4i 281 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
2922, 28syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
3029adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
31 ssun1 3919 . . . . . . . . 9 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32 sstr 3752 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏𝐵)
3331, 32mpan 708 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑏𝐵)
3433anim2i 594 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵))
35 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑧 𝑎))
3635ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎))
3736cbvrexv 3311 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
38 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
39 drsprs 17137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Preset )
4039ad5antr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝐾 ∈ Preset )
4133ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) → 𝑏𝐵)
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑏𝐵)
4342sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → 𝑧𝐵)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧𝐵)
45 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎𝐵)
46 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑦𝐵)
4746ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑦𝐵)
48 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑎)
49 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑎 𝑦)
5049ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎 𝑦)
51 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
5221, 51prstr 17134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Preset ∧ (𝑧𝐵𝑎𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧 𝑎𝑎 𝑦)) → 𝑧 𝑦)
5340, 44, 45, 47, 48, 50, 52syl132anc 1495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑦)
5453ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → (𝑧 𝑎𝑧 𝑦))
5554ralimdva 3100 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5655adantlrr 759 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5738, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦)
58 simprrr 824 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑐 𝑦)
59 vex 3343 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
60 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 𝑦𝑐 𝑦))
6159, 60ralsn 4366 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦𝑐 𝑦)
6258, 61sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦)
63 ralun 3938 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
6457, 62, 63syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
65 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑎𝐵)
67 ssun2 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68 sstr 3752 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
6967, 68mpan 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
7059snss 4460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
7169, 70sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑐𝐵)
7271ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑐𝐵)
7321, 51drsdir 17136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7465, 66, 72, 73syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7564, 74reximddv 3156 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
7675rexlimdvaa 3170 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7737, 76syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7834, 77embantd 59 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7978com12 32 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
8079a1i 11 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
815, 10, 15, 20, 30, 80findcard2 8365 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
8281com12 32 . 2 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
83823impia 1110 1 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cun 3713  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  Fincfn 8121  Basecbs 16059  lecple 16150   Preset cpreset 17127  Dirsetcdrs 17128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-preset 17129  df-drs 17130
This theorem is referenced by:  isdrs2  17140  ipodrsfi  17364
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