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Theorem drsdirfi 16859
Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 16850 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
drsdirfi ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3605 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
21anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
43rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
52, 4imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)))
6 sseq1 3605 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
76anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵)))
8 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
98rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
107, 9imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦)))
11 sseq1 3605 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
1211anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1413rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1512, 14imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
16 sseq1 3605 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎𝐵𝑋𝐵))
1716anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵)))
18 raleq 3127 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
1918rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
2017, 19imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)))
21 drsbn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2221drsbn0 16858 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23 ral0 4048 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦
2423jctr 564 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2524eximi 1759 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
26 n0 3907 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
27 df-rex 2913 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2825, 26, 273imtr4i 281 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
2922, 28syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
31 ssun1 3754 . . . . . . . . 9 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32 sstr 3591 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏𝐵)
3331, 32mpan 705 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑏𝐵)
3433anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵))
35 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑧 𝑎))
3635ralbidv 2980 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎))
3736cbvrexv 3160 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
38 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
39 drsprs 16857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Preset )
4039ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝐾 ∈ Preset )
4133ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) → 𝑏𝐵)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑏𝐵)
4342sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → 𝑧𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧𝐵)
45 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎𝐵)
46 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑦𝐵)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑦𝐵)
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑎)
49 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑎 𝑦)
5049ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎 𝑦)
51 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
5221, 51prstr 16854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Preset ∧ (𝑧𝐵𝑎𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧 𝑎𝑎 𝑦)) → 𝑧 𝑦)
5340, 44, 45, 47, 48, 50, 52syl132anc 1341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑦)
5453ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → (𝑧 𝑎𝑧 𝑦))
5554ralimdva 2956 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5655adantlrr 756 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5738, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦)
58 simprrr 804 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑐 𝑦)
59 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
60 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 𝑦𝑐 𝑦))
6159, 60ralsn 4193 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦𝑐 𝑦)
6258, 61sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦)
63 ralun 3773 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
6457, 62, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
65 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑎𝐵)
67 ssun2 3755 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68 sstr 3591 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
6967, 68mpan 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
7059snss 4286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
7169, 70sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑐𝐵)
7271ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑐𝐵)
7321, 51drsdir 16856 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7465, 66, 72, 73syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7564, 74reximddv 3012 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
7675rexlimdvaa 3025 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7737, 76syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7834, 77embantd 59 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7978com12 32 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
8079a1i 11 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
815, 10, 15, 20, 30, 80findcard2 8144 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
8281com12 32 . 2 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
83823impia 1258 1 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cun 3553  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  Fincfn 7899  Basecbs 15781  lecple 15869   Preset cpreset 16847  Dirsetcdrs 16848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-preset 16849  df-drs 16850
This theorem is referenced by:  isdrs2  16860  ipodrsfi  17084
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