MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmm0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmm0cl 20286
Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmcl.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmcl.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
dsmm0cl (𝜑0𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmcl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
3 dsmmcl.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 dsmmcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 17524 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Mnd)
6 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 dsmm0cl.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
86, 7mndidcl 17509 . . 3 (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
95, 8syl 17 . 2 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑃))
101, 2, 3, 4prds0g 17525 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑃))
1110, 7syl6eqr 2812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑅) = 0 )
1211adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → (0g𝑅) = 0 )
1312fveq1d 6354 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = ( 0𝑎))
14 ffn 6206 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝐼⟶Mnd → 𝑅 Fn 𝐼)
154, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
16 fvco2 6435 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fn 𝐼𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1715, 16sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1813, 17eqtr3d 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → ( 0𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
19 nne 2936 . . . . . 6 (¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ( 0𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
2018, 19sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐼) → ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
2120ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐼 ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
22 rabeq0 4100 . . . 4 ({𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎𝐼 ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
2321, 22sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = ∅)
24 0fin 8353 . . 3 ∅ ∈ Fin
2523, 24syl6eqel 2847 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
26 eqid 2760 . . 3 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
27 dsmmcl.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
281, 26, 6, 27, 2, 15dsmmelbas 20285 . 2 (𝜑 → ( 0𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
299, 25, 28mpbir2and 995 1 (𝜑0𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  c0 4058  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  Basecbs 16059  0gc0g 16302  Xscprds 16308  Mndcmnd 17495  m cdsmm 20277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-prds 16310  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-dsmm 20278
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  20289
  Copyright terms: Public domain W3C validator