MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmelbas 20002
Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmelbas.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
dsmmelbas.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i (𝜑𝐼𝑉)
dsmmelbas.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dsmmelbas (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmelbas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
2 dsmmelbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
3 fnex 6435 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
5 eqid 2621 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}
65dsmmbase 19998 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
8 dsmmelbas.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐶)
9 dsmmelbas.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
109fveq2i 6151 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
118, 10eqtri 2643 . . . 4 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
127, 11syl6reqr 2674 . . 3 (𝜑𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin})
1312eleq2d 2684 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}))
14 fveq1 6147 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏𝑎) = (𝑋𝑎))
1514neeq1d 2849 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
1615rabbidv 3177 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
1716eleq1d 2683 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1817elrab 3346 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
19 dsmmelbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
20 dsmmelbas.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2120fveq2i 6151 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2219, 21eqtr2i 2644 . . . . . 6 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
2322eleq2i 2690 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵))
25 fndm 5948 . . . . . 6 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26 rabeq 3179 . . . . . 6 (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
271, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2827eleq1d 2683 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
2924, 28anbi12d 746 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3018, 29syl5bb 272 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3113, 30bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Xscprds 16027  m cdsmm 19994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-prds 16029  df-dsmm 19995
This theorem is referenced by:  dsmm0cl  20003  dsmmacl  20004  dsmmsubg  20006  dsmmlss  20007
  Copyright terms: Public domain W3C validator