MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmsubg 20815
Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmsubg.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmsubg.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmsubg.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
Assertion
Ref Expression
dsmmsubg (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2819 . 2 (𝜑 → (𝑃s 𝐻) = (𝑃s 𝐻))
2 eqidd 2819 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) = (0g𝑃))
3 eqidd 2819 . 2 (𝜑 → (+g𝑃) = (+g𝑃))
4 dsmmsubg.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
5 dsmmsubg.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
6 fex 6980 . . . . . 6 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
8 eqid 2818 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin}
98dsmmbase 20807 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
11 ssrab2 4053 . . . 4 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
1210, 11eqsstrrdi 4019 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13 dsmmsubg.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
14 dsmmsubg.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
1514fveq2i 6666 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
1612, 13, 153sstr4g 4009 . 2 (𝜑𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
17 dsmmsubg.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
18 grpmnd 18048 . . . . 5 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1918ssriv 3968 . . . 4 Grp ⊆ Mnd
20 fss 6520 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
214, 19, 20sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
22 eqid 2818 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
2314, 13, 5, 17, 21, 22dsmm0cl 20812 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐻)
2453ad2ant1 1125 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝐼𝑊)
25173ad2ant1 1125 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑆𝑉)
26213ad2ant1 1125 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
27 simp2 1129 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑎𝐻)
28 simp3 1130 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
29 eqid 2818 . . 3 (+g𝑃) = (+g𝑃)
3014, 13, 24, 25, 26, 27, 28, 29dsmmacl 20813 . 2 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → (𝑎(+g𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
3114, 5, 17, 4prdsgrpd 18147 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
3231adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
3316sselda 3964 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
34 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
35 eqid 2818 . . . . 5 (invg𝑃) = (invg𝑃)
3634, 35grpinvcl 18089 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
3732, 33, 36syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
38 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐻)
39 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
405adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑊)
414ffnd 6508 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
4314, 39, 34, 13, 40, 42dsmmelbas 20811 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
4438, 43mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin))
4544simprd 496 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
465ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
4717ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑆𝑉)
484ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
4933adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
50 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑏𝐼)
5114, 46, 47, 48, 34, 35, 49, 50prdsinvgd2 20814 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
5251adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
53 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
5453ad2antll 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
554ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
5655adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
57 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑏)) = (0g‘(𝑅𝑏))
58 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (invg‘(𝑅𝑏)) = (invg‘(𝑅𝑏))
5957, 58grpinvid 18098 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6160adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6252, 54, 613eqtrd 2857 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6362expr 457 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏))))
6463necon3d 3034 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏)) → (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))))
6564ss2rabdv 4049 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ⊆ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))})
6645, 65ssfid 8729 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
6714, 39, 34, 13, 40, 42dsmmelbas 20811 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
6837, 66, 67mpbir2and 709 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
691, 2, 3, 16, 23, 30, 68, 31issubgrpd2 18233 1 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  dom cdm 5548   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Xscprds 16707  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  SubGrpcsubg 18211  m cdsmm 20803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-dsmm 20804
This theorem is referenced by:  dsmmlss  20816
  Copyright terms: Public domain W3C validator