Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvclim1 30848
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . 5 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 dstfrv.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 domprobmeas 30781 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
52adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
76adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
8 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
98nnred 11227 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
105, 7, 9orvclteel 30843 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑖) ∈ dom 𝑃)
11 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))
1210, 11fmptd 6548 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃)
132adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
146adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
15 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615nnred 11227 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
1715peano2nnd 11229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
1817nnred 11227 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1916lep1d 11147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≤ (𝑛 + 1))
2013, 14, 16, 18, 19orvclteinc 30846 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ⊆ (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
21 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))
22 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → 𝑖 = 𝑛)
2322oveq2d 6829 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑋RV/𝑐𝑖) = (𝑋RV/𝑐𝑛))
2413, 14, 16orvclteel 30843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃)
2521, 23, 15, 24fvmptd 6450 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘𝑛) = (𝑋RV/𝑐𝑛))
26 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → 𝑖 = (𝑛 + 1))
2726oveq2d 6829 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → (𝑋RV/𝑐𝑖) = (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
2813, 14, 18orvclteel 30843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
2921, 27, 17, 28fvmptd 6450 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘(𝑛 + 1)) = (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
3020, 25, 293sstr4d 3789 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘𝑛) ⊆ ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘(𝑛 + 1)))
311, 4, 12, 30meascnbl 30591 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))(𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))))
32 measfn 30576 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → 𝑃 Fn dom 𝑃)
33 dffn5 6403 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn dom 𝑃𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
3433biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn dom 𝑃𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
354, 32, 343syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
36 prob01 30784 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝑎) ∈ (0[,]1))
372, 36sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝑎) ∈ (0[,]1))
3835, 37fmpt3d 6549 . . . . . 6 (𝜑𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1))
39 fco 6219 . . . . . 6 ((𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
4038, 12, 39syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
412, 6dstfrvunirn 30845 . . . . . . 7 (𝜑 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = dom 𝑃)
422unveldomd 30786 . . . . . . 7 (𝜑 dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4341, 42eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ dom 𝑃)
44 prob01 30784 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ dom 𝑃) → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ∈ (0[,]1))
452, 43, 44syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ∈ (0[,]1))
46 0xr 10278 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
47 pnfxr 10284 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
48 0le0 11302 . . . . . 6 0 ≤ 0
49 1re 10231 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
50 ltpnf 12147 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
52 iccssico 12438 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞))
5346, 47, 48, 51, 52mp4an 711 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞)
541, 40, 45, 53lmlimxrge0 30303 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))(𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ⇝ (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))))
5531, 54mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ⇝ (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))))
56 eqidd 2761 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))
57 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = (𝑋RV/𝑐𝑖) → (𝑃𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
5810, 56, 35, 57fmptco 6559 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖))))
59 dstfrv.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
6059adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
61 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
6261oveq2d 6829 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑋RV/𝑐𝑥) = (𝑋RV/𝑐𝑖))
6362fveq2d 6356 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
645, 10probvalrnd 30795 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ ℝ)
6560, 63, 9, 64fvmptd 6450 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
6665mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖))))
6758, 66eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)))
6841fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑃 dom 𝑃))
69 probtot 30783 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
702, 69syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
7168, 70eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = 1)
7255, 67, 713brtr3d 4835 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1)
73 1z 11599 . . 3 1 ∈ ℤ
74 reex 10219 . . . . 5 ℝ ∈ V
7574mptex 6650 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))) ∈ V
7659, 75syl6eqel 2847 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
77 nnuz 11916 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
78 eqid 2760 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖))
7977, 78climmpt 14501 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1))
8073, 76, 79sylancr 698 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1))
8172, 80mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cn 11212  cz 11569  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  cli 14414  s cress 16060  TopOpenctopn 16284  *𝑠cxrs 16362  𝑡clm 21232  measurescmeas 30567  Probcprb 30778  rRndVarcrrv 30811  RV/𝑐corvc 30826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-lm 21235  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399  df-siga 30480  df-sigagen 30511  df-brsiga 30554  df-meas 30568  df-mbfm 30622  df-prob 30779  df-rrv 30812  df-orvc 30827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator