Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstregt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstregt0 38957
Description: A complex number 𝐴 that is not real, has a distance from the reals that is strictly larger than 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dstregt0.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
Assertion
Ref Expression
dstregt0 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dstregt0
StepHypRef Expression
1 dstregt0.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
21eldifad 3567 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32imcld 13869 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10012 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
51eldifbd 3568 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
6 reim0b 13793 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
85, 7mtbid 314 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (ℑ‘𝐴) = 0)
98neqned 2797 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
104, 9absrpcld 14121 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1110rphalfcld 11828 . 2 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
122adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13 recn 9970 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1512, 14imsubd 13891 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)))
16 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716reim0d 13899 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
1817oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
194adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
2019subid1d 10325 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
2115, 18, 203eqtrrd 2660 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴𝑦)))
2221fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))))
2322oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) = ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2))
2421, 19eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴𝑦)) ∈ ℂ)
2524abscld 14109 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ∈ ℝ)
2625rehalfcld 11223 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) ∈ ℝ)
2712, 14subcld 10336 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴𝑦) ∈ ℂ)
2827abscld 14109 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴𝑦)) ∈ ℝ)
299adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3021, 29eqnetrrd 2858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴𝑦)) ≠ 0)
3124, 30absrpcld 14121 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ∈ ℝ+)
32 rphalflt 11804 . . . . . 6 ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))))
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) < (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))))
34 absimle 13983 . . . . . 6 ((𝐴𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴𝑦)))
3527, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) ≤ (abs‘(𝐴𝑦)))
3626, 25, 28, 33, 35ltletrd 10141 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝑦))) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦)))
3723, 36eqbrtrd 4635 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦)))
3837ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦)))
39 breq1 4616 . . . 4 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦))))
4039ralbidv 2980 . . 3 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦))))
4140rspcev 3295 . 2 ((((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)))
4211, 38, 41syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐴𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  +crp 11776  cim 13772  abscabs 13908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910
This theorem is referenced by:  limcrecl  39265
  Copyright terms: Public domain W3C validator