Theorem dstrvprob 31724

Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 31723) (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
dstrvprob	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2		dstrvprob.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑃 ∈ Prob)
4		dstrvprob.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
5	4	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
7	3, 5, 6	orvcelel 31722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8		prob01 31666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
9	3, 7, 8	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10		elunitrn 31135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12		elunitge0 31137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
13		elxrge0 12839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
14	11, 12, 13	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
15	9, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	fmpt3d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞))
17		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
18	17	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ∅))
19	18	fveq2d 6669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
20		brsigarn 31438	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21		elrnsiga 31380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
22		0elsiga 31368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝔅ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
25	2, 4, 24	orvcelel 31722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
26	2, 25	probvalrnd 31677	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
27	1, 19, 24, 26	fvmptd 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
28	2, 4, 24	orvcelval 31721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) = (◡𝑋 “ ∅))
29	28	fveq2d 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)))
30		ima0 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 “ ∅) = ∅
31	30	fveq2i 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32		probnul 31667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
33	2, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
34	31, 33	syl5eq 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = 0)
35	27, 29, 34	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
36	2, 4	rrvvf 31697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
38	37	ffund 6513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
39		unipreima 30385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝑋 → (◡𝑋 “ ∪ 𝑥) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
40	39	fveq2d 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑋 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
42	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
43		domprobmeas 31663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
45		nfv 1911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
46		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ≼ ω
47		nfdisj1 5038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎
48	46, 47	nfan 1896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
49	45, 48	nfan 1896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎))
50		simplll 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝜑)
51		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
52		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
53		elelpwi 4554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
54	51, 52, 53	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
55	2, 4	rrvfinvima 31703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
56	55	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
57	50, 54, 56	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
58	57	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃))
59	49, 58	ralrimi 3216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
60		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
61		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
62		disjpreima 30328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
63	38, 61, 62	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
64		measvuni 31468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
65	44, 59, 60, 63, 64	syl112anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
66	41, 65	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
67	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
68	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
69	20, 21	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
70		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
71		sigaclcu 31371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
72	69, 70, 60, 71	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
73	42, 67, 68, 72	dstrvval 31723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)))
74	1, 9	fvmpt2d 6776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
75	50, 54, 74	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
76	42	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
77	67	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
78	76, 77, 54	orvcelval 31721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝑎))
79	78	fveq2d 6669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
80	75, 79	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
81	80	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎))))
82	49, 81	ralrimi 3216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
83	49, 82	esumeq2d 31291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
84	66, 73, 83	3eqtr4d 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))
85	84	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
86	85	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
87		ismeas 31453	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))))
88	20, 21, 87	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))))
89	16, 35, 86, 88	syl3anbrc 1339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ))
90	1	dmeqd 5769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
91	15	ralrimiva 3182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
92		dmmptg 6091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
93	91, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
94	90, 93	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅ℝ)
95	94	fveq2d 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅ℝ))
96	89, 95	eleqtrrd 2916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
97		measbasedom 31456	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
98	96, 97	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ∪ ran measures)
99	94	unieqd 4842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ∪ 𝔅ℝ)
100		unibrsiga 31440	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
101	99, 100	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ℝ)
102	101	fveq2d 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
103		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
104	103	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ))
105		baselsiga 31369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
106	20, 105	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
107	2, 4, 106	orvcelval 31721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
108	107	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
109	104, 108	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ ℝ))
110	109	fveq2d 6669	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)))
111		fimacnv 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
112	36, 111	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
113	112	fveq2d 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
114		probtot 31665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
115	2, 114	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
116	113, 115	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
117	116	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
118	110, 117	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
119		1red 10636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
120	1, 118, 106, 119	fvmptd 6770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
121	102, 120	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1)
122		elprob 31662	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ∧ (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1))
123	98, 121, 122	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  ∪ cuni 4832  ∪ ciun 4912  Disj wdisj 5024   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139   E cep 5459  ^◡ccnv 5549  dom cdm 5550  ran crn 5551   “ cima 5553  Fun wfun 6344  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ωcom 7574   ≼ cdom 8501  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  [,]cicc 12735  Σ^*cesum 31281  sigAlgebracsiga 31362  𝔅_ℝcbrsiga 31435  measurescmeas 31449  Probcprb 31660  rRndVarcrrv 31693  ∘_RV/𝑐corvc 31708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-ordt 16768  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-ps 17804  df-tsr 17805  df-plusf 17845  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-subrg 19527  df-abv 19582  df-lmod 19630  df-scaf 19631  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-tmd 22674  df-tgp 22675  df-tsms 22729  df-trg 22762  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-nrg 23189  df-nlm 23190  df-ii 23479  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-esum 31282  df-siga 31363  df-sigagen 31393  df-brsiga 31436  df-meas 31450  df-mbfm 31504  df-prob 31661  df-rrv 31694  df-orvc 31709

This theorem is referenced by: (None)