Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstrvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstrvval 31627
Description: The value of the distribution of a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
dstrvval.1 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
Assertion
Ref Expression
dstrvval (𝜑 → (𝐷𝐴) = (𝑃‘(𝑋𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem dstrvval
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.3 . . 3 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
21fveq1d 6665 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴))
3 dstrvval.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
4 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E 𝐴))
54fveq2d 6667 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝐴)))
6 eqid 2818 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7 fvex 6676 . . . 4 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝐴)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6761 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔅 → ((𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝐴)))
93, 8syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝐴)))
10 dstrvprob.1 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
11 dstrvprob.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
1210, 11, 3orvcelval 31625 . . 3 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋𝐴))
1312fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝐴)) = (𝑃‘(𝑋𝐴)))
142, 9, 133eqtrd 2857 1 (𝜑 → (𝐷𝐴) = (𝑃‘(𝑋𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137   E cep 5457  ccnv 5547  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  𝔅cbrsiga 31339  Probcprb 31564  rRndVarcrrv 31597  RV/𝑐corvc 31612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioo 12730  df-topgen 16705  df-top 21430  df-bases 21482  df-esum 31186  df-siga 31267  df-sigagen 31297  df-brsiga 31340  df-meas 31354  df-mbfm 31408  df-prob 31565  df-rrv 31598  df-orvc 31613
This theorem is referenced by:  dstrvprob  31628
  Copyright terms: Public domain W3C validator