MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaddbr 23421
Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd 23423. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x (𝜑𝑋𝑆)
dvadd.g (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
dvadd.y (𝜑𝑌𝑆)
dvaddbr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.k (𝜑𝐾𝑉)
dvadd.l (𝜑𝐿𝑉)
dvadd.bf (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvaddbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Proof of Theorem dvaddbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 23382 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 473 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 23382 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
1611, 15mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1716simpld 473 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌))
1810, 17elind 3756 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
193cnfldtopon 22325 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 resttopon 20714 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2119, 5, 20sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22 topontop 20480 . . . . 5 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 20481 . . . . . 6 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
267, 25sseqtrd 3600 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
2714, 25sseqtrd 3600 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝐽t 𝑆))
28 eqid 2606 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2928ntrin 20614 . . . 4 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3118, 30eleqtrrd 2687 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)))
32 inss1 3791 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
33 ssdif 3703 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3432, 33mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3534sselda 3564 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
367, 5sstrd 3574 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3728ntrss2 20610 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3823, 26, 37syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3938, 10sseldd 3565 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
406, 36, 39dvlem 23380 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
4135, 40syldan 485 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
42 inss2 3792 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
43 ssdif 3703 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4544sselda 3564 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4614, 5sstrd 3574 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
4728ntrss2 20610 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4823, 27, 47syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4948, 17sseldd 3565 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑌)
5013, 46, 49dvlem 23380 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
5145, 50syldan 485 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
52 ssid 3583 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
5352a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
54 txtopon 21143 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5519, 19, 54mp2an 703 . . . . . 6 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5655toponunii 20486 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
5756restid 15860 . . . . . 6 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) → ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽))
5855, 57ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
5958eqcomi 2615 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
609simprd 477 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
6140, 4fmptd 6274 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
6236ssdifssd 3706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
63 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
6432, 7syl5ss 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑆)
6564, 25sseqtrd 3600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
66 difssd 3696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ (𝐽t 𝑆))
6765, 66unssd 3747 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
68 ssun1 3734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)))
7028ntrss 20608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
7123, 67, 69, 70syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
7271, 31sseldd 3565 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
7372, 39elind 3756 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7432a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
75 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)
7628, 75restntr 20735 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7723, 26, 74, 76syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
783cnfldtop 22326 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
80 cnex 9870 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
81 ssexg 4724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
825, 80, 81sylancl 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ V)
83 restabs 20718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8479, 7, 82, 83syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8584fveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
8685fveq1d 6087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8777, 86eqtr3d 2642 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8873, 87eleqtrd 2686 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
89 undif1 3991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
9039snssd 4277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
91 ssequn2 3744 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9290, 91sylib 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9389, 92syl5eq 2652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9493oveq2d 6540 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑋))
9594fveq2d 6089 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
96 undif1 3991 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶})
9739, 49elind 3756 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝑌))
9897snssd 4277 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋𝑌))
99 ssequn2 3744 . . . . . . . . . . 11 ({𝐶} ⊆ (𝑋𝑌) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
10098, 99sylib 206 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
10196, 100syl5eq 2652 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
10295, 101fveq12d 6091 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
10388, 102eleqtrrd 2687 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
10461, 34, 62, 3, 63, 103limcres 23370 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10534resmptd 5355 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
106105oveq1d 6539 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
107104, 106eqtr3d 2642 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10860, 107eleqtrd 2686 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10916simprd 477 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
11050, 12fmptd 6274 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
11146ssdifssd 3706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
112 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
113 difssd 3696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
11465, 113unssd 3747 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
115 ssun1 3734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)))
11728ntrss 20608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
11823, 114, 116, 117syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
119118, 31sseldd 3565 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
120119, 49elind 3756 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
12142a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
122 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)
12328, 122restntr 20735 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
12423, 27, 121, 123syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
125 restabs 20718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
12679, 14, 82, 125syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
127126fveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
128127fveq1d 6087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
129124, 128eqtr3d 2642 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
130120, 129eleqtrd 2686 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
131 undif1 3991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
13249snssd 4277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
133 ssequn2 3744 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
134132, 133sylib 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
135131, 134syl5eq 2652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
136135oveq2d 6540 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑌))
137136fveq2d 6089 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
138137, 101fveq12d 6091 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
139130, 138eleqtrrd 2687 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
140110, 44, 111, 3, 112, 139limcres 23370 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
14144resmptd 5355 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
142141oveq1d 6539 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
143140, 142eqtr3d 2642 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
144109, 143eleqtrd 2686 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1453addcn 22404 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1465, 6, 7dvcl 23383 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1471, 146mpdan 698 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1485, 13, 14dvcl 23383 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
14911, 148mpdan 698 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
150 opelxpi 5059 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
151147, 149, 150syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
15256cncnpi 20831 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
153145, 151, 152sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
15441, 51, 53, 53, 3, 59, 108, 144, 153limccnp2 23376 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
155 eldifi 3690 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
156155adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
157 ffn 5941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
1586, 157syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
159158adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
160 ffn 5941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑌⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝑌)
16113, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
162161adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
163 ssexg 4724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
16436, 80, 163sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
165164adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
166 ssexg 4724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
16746, 80, 166sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ V)
168167adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
169 eqid 2606 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) = (𝑋𝑌)
170 eqidd 2607 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
171 eqidd 2607 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
172159, 162, 165, 168, 169, 170, 171ofval 6778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
173156, 172mpdan 698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
174 eqidd 2607 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
175 eqidd 2607 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
176159, 162, 165, 168, 169, 174, 175ofval 6778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
17797, 176mpidan 700 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
178173, 177oveq12d 6542 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))))
179 difss 3695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋𝑌)
180179, 32sstri 3573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑋
181180sseli 3560 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑋)
182 ffvelrn 6247 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
1836, 181, 182syl2an 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
184179, 42sstri 3573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
185184sseli 3560 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
186 ffvelrn 6247 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
18713, 185, 186syl2an 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
1886, 39ffvelrnd 6250 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
189188adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
19013, 49ffvelrnd 6250 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
191190adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
192183, 187, 189, 191addsub4d 10287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
193178, 192eqtrd 2640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
194193oveq1d 6539 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
195183, 189subcld 10240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
196187, 191subcld 10240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
197180, 36syl5ss 3575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
198197sselda 3564 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
19936, 39sseldd 3565 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
200199adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
201198, 200subcld 10240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
202 eldifsni 4257 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
203202adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
204198, 200, 203subne0d 10249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
205195, 196, 201, 204divdird 10685 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
206194, 205eqtrd 2640 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
207206mpteq2dva 4663 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))))
208207oveq1d 6539 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
209154, 208eleqtrrd 2687 . 2 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
210 eqid 2606 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
211 addcl 9871 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
212211adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
213212, 6, 13, 164, 167, 169off 6784 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):(𝑋𝑌)⟶ℂ)
2142, 3, 210, 5, 213, 64eldv 23382 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
21531, 209, 214mpbir2and 958 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  Vcvv 3169  cdif 3533  cun 3534  cin 3535  wss 3536  {csn 4121  cop 4127   cuni 4363   class class class wbr 4574  cmpt 4634   × cxp 5023  cres 5027   Fn wfn 5782  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  cc 9787   + caddc 9792  cmin 10114   / cdiv 10530  t crest 15847  TopOpenctopn 15848  fldccnfld 19510  Topctop 20456  TopOnctopon 20457  intcnt 20570   Cn ccn 20777   CnP ccnp 20778   ×t ctx 21112   lim climc 23346   D cdv 23347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-limc 23350  df-dv 23351
This theorem is referenced by:  dvadd  23423  dvaddf  23425
  Copyright terms: Public domain W3C validator