Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvafvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvafvadd 35779
Description: The vector sum operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafvadd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafvadd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.v + = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvafvadd ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐾   𝑇,𝑓,𝑔   𝑓,𝑊,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem dvafvadd
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafvadd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvafvadd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2621 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 dvafvadd.u . . . 4 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5dvaset 35770 . . 3 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
76fveq2d 6152 . 2 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → (+g𝑈) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
8 dvafvadd.v . 2 + = (+g𝑈)
9 fvex 6158 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
102, 9eqeltri 2694 . . . 4 𝑇 ∈ V
1110, 10mpt2ex 7192 . . 3 (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
12 eqid 2621 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})
1312lmodplusg 15940 . . 3 ((𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
1411, 13ax-mp 5 . 2 (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
157, 8, 143eqtr4g 2680 1 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553  {csn 4148  {ctp 4152  cop 4154  ccom 5078  cfv 5847  cmpt2 6606  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  TEndoctendo 35517  EDRingcedring 35518  DVecAcdveca 35767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-dveca 35768
This theorem is referenced by:  dvavadd  35780
  Copyright terms: Public domain W3C validator