Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvasin 32462
Description: Derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
dvasin (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvasin
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-asin 24309 . . . . 5 arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
21reseq1i 5300 . . . 4 (arcsin ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) ↾ 𝐷)
3 dvasin.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4 difss 3698 . . . . . 6 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 3597 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
6 resmpt 5356 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
82, 7eqtri 2631 . . 3 (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
98oveq2i 6538 . 2 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))))
10 cnelprrecn 9885 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
125sseli 3563 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
13 ax-icn 9851 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
14 mulcl 9876 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
1513, 14mpan 701 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
16 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 sqcl 12742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
18 subcl 10131 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1916, 17, 18sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
2019sqrtcld 13970 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
2115, 20addcld 9915 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
2212, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
23 asinlem 24312 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
2412, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
2522, 24logcld 24038 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
2625adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
27 ovex 6555 . . . . 5 (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
29 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)
30 asinlem3 24315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
31 rere 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3231breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → (0 ≤ (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ↔ 0 ≤ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
3332biimpac 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3430, 33sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3523adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
3629, 34, 35ne0gt0d 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → 0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
37 0re 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
38 ltnle 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → (0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
3937, 38mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → (0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → (0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4136, 40mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0)
4241ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4312, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
44 imor 426 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4543, 44sylib 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4645orcomd 401 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ))
4746olcd 406 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)))
48 3ianor 1047 . . . . . . . . . . 11 (¬ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
49 3orrot 1036 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ))
50 3orass 1033 . . . . . . . . . . 11 ((¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) ↔ (¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)))
5148, 49, 503bitrri 285 . . . . . . . . . 10 ((¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)) ↔ ¬ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
52 mnfxr 11783 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
53 elioc2 12063 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0)))
5452, 37, 53mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
5551, 54xchbinxr 323 . . . . . . . . 9 ((¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
5647, 55sylib 206 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
5722, 56eldifd 3550 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
5857adantl 480 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
59 ovex 6555 . . . . . . 7 ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V
6059a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
61 eldifi 3693 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
62 eldifn 3694 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
63 0xr 9942 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
64 mnflt0 11796 . . . . . . . . . . . 12 -∞ < 0
65 ubioc1 12054 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → 0 ∈ (-∞(,]0))
6652, 63, 64, 65mp3an 1415 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (-∞(,]0)
67 eleq1 2675 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (-∞(,]0) ↔ 0 ∈ (-∞(,]0)))
6866, 67mpbiri 246 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
6968necon3bi 2807 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ (-∞(,]0) → 𝑦 ≠ 0)
7062, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
7161, 70logcld 24038 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
7271adantl 480 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
73 ovex 6555 . . . . . . 7 (1 / 𝑦) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ V)
7513a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → i ∈ ℂ)
7675, 12mulcld 9916 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7776adantl 480 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7813a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → i ∈ ℂ)
7912adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 1cnd 9912 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
81 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
82 1cnd 9912 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8311dvmptid 23443 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
845a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
85 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8685cnfldtopon 22328 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8786toponunii 20489 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
8887restid 15863 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
8986, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
9089eqcomi 2618 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
9185recld2 22357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
92 neg1rr 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℝ
93 iocmnfcld 22314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
95 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
96 icopnfcld 22313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
98 uncld 20597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
9994, 97, 98mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
10085tgioo2 22346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101100fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
10299, 101eleqtri 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
103 restcldr 20730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
10491, 102, 103mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
10587cldopn 20587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
1073, 106eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
10911, 81, 82, 83, 84, 90, 85, 108dvmptres 23449 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ 1))
11013a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → i ∈ ℂ)
11111, 79, 80, 109, 110dvmptcmul 23450 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (i · 1)))
11213mulid1i 9898 . . . . . . . . . 10 (i · 1) = i
113112mpteq2i 4663 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ (i · 1)) = (𝑥𝐷 ↦ i)
114111, 113syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ i))
11512sqcld 12823 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
11616, 115, 18sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
117116sqrtcld 13970 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
118117adantl 480 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
119 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V
120119a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
121 elin 3757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ ℝ) ↔ (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℝ))
1223asindmre 32461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)
123122eqimssi 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∩ ℝ) ⊆ (-1(,)1)
124123sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-1(,)1))
125121, 124sylbir 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (-1(,)1))
126 incom 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0(,)+∞) ∩ (-∞(,]0)) = ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞))
127 pnfxr 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
128 df-ioc 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
129 df-ioo 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
130 xrltnle 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
131128, 129, 130ixxdisj 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅)
13252, 63, 127, 131mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅
133126, 132eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0(,)+∞) ∩ (-∞(,]0)) = ∅
134 elioore 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
135134resqcld 12852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
136 resubcl 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
13795, 135, 136sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
13892rexri 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℝ*
13995rexri 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ*
140 elioo2 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1)))
141138, 139, 140mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1))
142 recn 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
143142abscld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
144142absge0d 13977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
145 0le1 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ≤ 1
146 lt2sq 12754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ ((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2)))
14795, 145, 146mpanr12 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ ((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2)))
148143, 144, 147syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ ((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2)))
149 abslt 13848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ (-1 < 𝑥𝑥 < 1)))
15095, 149mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ (-1 < 𝑥𝑥 < 1)))
151 absresq 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥)↑2) = (𝑥↑2))
152 sq1 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1↑2) = 1
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → (1↑2) = 1)
154151, 153breq12d 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2) ↔ (𝑥↑2) < 1))
155 resqcl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
156 posdif 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑥↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
157155, 95, 156sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
158154, 157bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → (((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2) ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
159148, 150, 1583bitr3d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑥𝑥 < 1) ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
160159biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑥𝑥 < 1) → 0 < (1 − (𝑥↑2))))
1611603impib 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1) → 0 < (1 − (𝑥↑2)))
162141, 161sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < (1 − (𝑥↑2)))
163137, 162elrpd 11701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
164 ioorp 12078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)+∞) = ℝ+
165163, 164syl6eleqr 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ (0(,)+∞))
166 disjel 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((0(,)+∞) ∩ (-∞(,]0)) = ∅ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (0(,)+∞)) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
167133, 165, 166sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
168125, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
169 elioc2 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (𝑥↑2)) ∧ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0)))
17052, 37, 169mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (𝑥↑2)) ∧ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0))
171170biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (𝑥↑2)) ∧ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0))
172171simp1d 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
173 resubcl 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ)
17495, 172, 173sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ)
175 nncan 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) = (𝑥↑2))
17616, 175mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥↑2) ∈ ℂ → (1 − (1 − (𝑥↑2))) = (𝑥↑2))
177176eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥↑2) ∈ ℂ → ((1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ ↔ (𝑥↑2) ∈ ℝ))
178177biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
179174, 178sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
180172adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
181171simp3d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0)
182181adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0)
183 letr 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((1 − (𝑥↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
18437, 95, 183mp3an23 1407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ → (((1 − (𝑥↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
185145, 184mpan2i 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ → ((1 − (𝑥↑2)) ≤ 0 → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
186180, 182, 185sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1)
187 subge0 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (1 − (𝑥↑2))) ↔ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
18895, 180, 187sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (0 ≤ (1 − (1 − (𝑥↑2))) ↔ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
189186, 188mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (1 − (1 − (𝑥↑2))))
190176adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) = (𝑥↑2))
191189, 190breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (𝑥↑2))
192179, 191resqrtcld 13950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ)
19317, 192sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ)
194 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ))
195193, 194syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) → 𝑥 ∈ ℝ))
196193renegcld 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ)
197 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -(√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ))
198196, 197syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)) → 𝑥 ∈ ℝ))
199 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥↑2) = (𝑥↑2)
200 eqsqrtor 13900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (𝑥↑2) ↔ (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)))))
20117, 200mpdan 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (𝑥↑2) ↔ (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)))))
202199, 201mpbii 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2))))
203202adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2))))
204195, 198, 203mpjaod 394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
205204stoic1a 1687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
20612, 205sylan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
207168, 206pm2.61dan 827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
208116, 207eldifd 3550 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
209208adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
210 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
211 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
212210, 211mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
213212negcld 10230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
214213adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
21512, 214sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
21661sqrtcld 13970 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
217216adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
218 ovex 6555 . . . . . . . . . . 11 (1 / (2 · (√‘𝑦))) ∈ V
219218a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / (2 · (√‘𝑦))) ∈ V)
22019adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
22137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
222 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
22311, 222dvmptc 23444 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
22417adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
225 2cn 10938 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
226 mulcl 9876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
227225, 226mpan 701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
228227adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
229 2nn 11032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
230 dvexp 23439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1))))
232 2m1e1 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
233232oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
234 exp1 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
235233, 234syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
236235oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
237236mpteq2ia 4662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥))
238231, 237eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥))
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)))
24011, 82, 221, 223, 224, 228, 239dvmptsub 23453 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − (2 · 𝑥))))
241 df-neg 10120 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · 𝑥) = (0 − (2 · 𝑥))
242241mpteq2i 4663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(2 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − (2 · 𝑥)))
243240, 242syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(2 · 𝑥)))
24411, 220, 214, 243, 84, 90, 85, 108dvmptres 23449 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 − (𝑥↑2)))) = (𝑥𝐷 ↦ -(2 · 𝑥)))
245 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
246245dvcnsqrt 24202 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (√‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / (2 · (√‘𝑦))))
247246a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (√‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / (2 · (√‘𝑦)))))
248 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1 − (𝑥↑2)) → (√‘𝑦) = (√‘(1 − (𝑥↑2))))
249248oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1 − (𝑥↑2)) → (2 · (√‘𝑦)) = (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
250249oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1 − (𝑥↑2)) → (1 / (2 · (√‘𝑦))) = (1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
25111, 11, 209, 215, 217, 219, 244, 247, 248, 250dvmptco 23458 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥))))
252 mulneg2 10318 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
253225, 12, 252sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
254253oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-(2 · 𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
25512negcld 10230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → -𝑥 ∈ ℂ)
256 eldifn 3694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
257256, 3eleq2s 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
258 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
259 mnflt 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
26092, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ < -1
261 ubioc1 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
26252, 138, 260, 261mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ (-∞(,]-1)
263258, 262syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
264 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
265 ltpnf 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
26695, 265ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
267 lbico1 12055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
268139, 127, 266, 267mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ (1[,)+∞)
269264, 268syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
270263, 269orim12i 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
271270orcoms 402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
272 elun 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
273271, 272sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
274257, 273nsyl 133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
275 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
27617adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
27719adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
278 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
279277, 278sqr00d 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
280275, 276, 279subeq0d 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
281152, 280syl5req 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
282281ex 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
283 sqeqor 12795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
28416, 283mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
285282, 284sylibd 227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
286285necon3bd 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
28712, 274, 286sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
288 2cnne0 11089 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
289 divcan5 10576 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
290288, 289mp3an3 1404 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)) → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
291255, 117, 287, 290syl12anc 1315 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
292225, 12, 226sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷 → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
293292negcld 10230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
294 mulcl 9876 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ) → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
295225, 117, 294sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
296 mulne0 10518 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)) → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
297288, 296mpan 701 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0) → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
298117, 287, 297syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
299293, 295, 298divrec2d 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (-(2 · 𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥)))
300254, 291, 2993eqtr3rd 2652 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥)) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
301300mpteq2ia 4662 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
302251, 301syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
30311, 77, 78, 114, 118, 120, 302dvmptadd 23446 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
304 mulcl 9876 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ) → (i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
30513, 20, 304sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
30612, 305syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
307306, 255, 117, 287divdird 10688 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
308 ixi 10505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i · i) = -1
309308eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (i · i)
310309oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · 𝑥) = ((i · i) · 𝑥)
311 mulm1 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
312 mulass 9880 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝑥) = (i · (i · 𝑥)))
31313, 13, 312mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝑥) = (i · (i · 𝑥)))
314310, 311, 3133eqtr3a 2667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 = (i · (i · 𝑥)))
315314oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · (i · 𝑥)) + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
316 negcl 10132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
317305, 316addcomd 10089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) = (-𝑥 + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
31813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
319318, 15, 20adddid 9920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · (i · 𝑥)) + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
320315, 317, 3193eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) = (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
32112, 320syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) = (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
322321oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
32375, 117, 287divcan4d 10656 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = i)
324323oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
325307, 322, 3243eqtr3rd 2652 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
326325mpteq2ia 4662 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↦ (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
327303, 326syl6eq 2659 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
328245dvlog 24114 . . . . . . 7 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
329 logf1o 24032 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
330 f1of 6035 . . . . . . . . . 10 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
331329, 330mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
332 snssi 4279 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (-∞(,]0) → {0} ⊆ (-∞(,]0))
33366, 332ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {0} ⊆ (-∞(,]0)
334 sscon 3705 . . . . . . . . . 10 ({0} ⊆ (-∞(,]0) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
335333, 334mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
336331, 335feqresmpt 6145 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)))
337336oveq2d 6543 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))))
338328, 337syl5reqr 2658 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
339 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑦 = ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) → (log‘𝑦) = (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
340 oveq2 6535 . . . . . 6 (𝑦 = ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) → (1 / 𝑦) = (1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
34111, 11, 58, 60, 72, 74, 327, 338, 339, 340dvmptco 23458 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
34222, 24reccld 10643 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
343 mulcl 9876 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ) → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
34413, 21, 343sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
34512, 344syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
346342, 345, 117, 287divassd 10685 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
347345, 22, 24divrec2d 10654 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
34875, 22, 24divcan4d 10656 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = i)
349347, 348eqtr3d 2645 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = i)
350349oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
351346, 350eqtr3d 2645 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
352351mpteq2ia 4662 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
353341, 352syl6eq 2659 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) = (𝑥𝐷 ↦ (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
354 negicn 10133 . . . . 5 -i ∈ ℂ
355354a1i 11 . . . 4 (⊤ → -i ∈ ℂ)
35611, 26, 28, 353, 355dvmptcmul 23450 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
357356trud 1483 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
35813, 13mulneg1i 10326 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
359308negeqi 10125 . . . . . 6 -(i · i) = --1
360 negneg1e1 10975 . . . . . 6 --1 = 1
361358, 359, 3603eqtri 2635 . . . . 5 (-i · i) = 1
362361oveq1i 6537 . . . 4 ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))
363 divass 10552 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)) → ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
364354, 13, 363mp3an12 1405 . . . . 5 (((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0) → ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
365117, 287, 364syl2anc 690 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
366362, 365syl5reqr 2658 . . 3 (𝑥𝐷 → (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
367366mpteq2ia 4662 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3689, 357, 3673eqtri 2635 1 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3o 1029  w3a 1030   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  cres 5030  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  ici 9794   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  -∞cmnf 9928  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  +crp 11664  (,)cioo 12002  (,]cioc 12003  [,)cico 12004  cexp 12677  cre 13631  csqrt 13767  abscabs 13768  t crest 15850  TopOpenctopn 15851  topGenctg 15867  fldccnfld 19513  TopOnctopon 20460  Clsdccld 20572   D cdv 23350  logclog 24022  arcsincasin 24306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-tan 14587  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025  df-asin 24309
This theorem is referenced by:  dvacos  32463  dvreasin  32464
  Copyright terms: Public domain W3C validator