Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvatan 24579
 Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 9981 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-1cn 9946 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 9947 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 24577 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ dom arctan
8 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
97, 8sseldi 3585 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom arctan)
10 atandm2 24521 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
119, 10sylib 208 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
1211simp1d 1071 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 mulcl 9972 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
144, 12, 13sylancr 694 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subcl 10232 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
163, 14, 15sylancr 694 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1711simp2d 1072 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
1816, 17logcld 24238 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
19 addcl 9970 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
203, 14, 19sylancr 694 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
2111simp3d 1073 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
2220, 21logcld 24238 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
2318, 22subcld 10344 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
24 ovexd 6640 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V)
25 ovexd 6640 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 + i)) ∈ V)
265, 6atans2 24575 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1075 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
2827adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
29 negex 10231 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ V)
315logdmss 24305 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3331, 32sseldi 3585 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
34 logf1o 24232 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
35 f1of 6099 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
3736ffvelrni 6319 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ran log)
38 logrncn 24230 . . . . . . . . 9 ((log‘𝑦) ∈ ran log → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
40 ovexd 6640 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
4241, 13sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
433, 42, 15sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ V)
45 1cnd 10008 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46 0cnd 9985 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
47 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
482, 47dvmptc 23644 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
50 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
512dvmptid 23643 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 23650 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
534mulid1i 9994 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 1) = i
5453mpteq2i 4706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5552, 54syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 23653 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i)))
57 df-neg 10221 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 − i)
5857mpteq2i 4706 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i))
5956, 58syl6eqr 2673 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
60 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6160cnfldtopon 22509 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
625, 6atansopn 24576 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
63 toponss 20653 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6461, 62, 63mp2an 707 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ⊆ ℂ)
6660cnfldtop 22510 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
6761toponunii 20656 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
6867restid 16026 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
6966, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
7069eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
7162a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
722, 43, 44, 59, 65, 70, 60, 71dvmptres 23649 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ -i))
73 fssres 6032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7436, 31, 73mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7675feqmptd 6211 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (log ↾ 𝐷) = (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)))
77 fvres 6169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑦) = (log‘𝑦))
7877mpteq2ia 4705 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))
7976, 78syl6req 2672 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ 𝐷))
8079oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ 𝐷)))
815dvlog 24314 . . . . . . . . 9 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
8280, 81syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
83 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 − (i · 𝑥))))
84 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 − (i · 𝑥))))
852, 2, 28, 30, 39, 40, 72, 82, 83, 84dvmptco 23658 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)))
86 irec 12912 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8786oveq2i 6621 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)
884a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ∈ ℂ)
89 ine0 10417 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ≠ 0)
9116, 88, 17, 90recdiv2d 10771 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)))
9216, 17reccld 10746 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
9392, 88, 90divrecd 10756 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)))
94 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 1 ∈ ℂ)
9594, 14, 88subdird 10439 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)))
964mulid2i 9995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · i) = i
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 · i) = i)
9888, 12, 88mul32d 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = ((i · i) · 𝑥))
99 ixi 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
10099oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝑥) = (-1 · 𝑥)
10112mulm1d 10434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
102100, 101syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · i) · 𝑥) = -𝑥)
10398, 102eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = -𝑥)
10497, 103oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)) = (i − -𝑥))
105 subneg 10282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
1064, 12, 105sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
10795, 104, 1063eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (i + 𝑥))
108 addcom 10174 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) = (𝑥 + i))
1094, 12, 108sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i + 𝑥) = (𝑥 + i))
110107, 109eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (𝑥 + i))
111110oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)) = (1 / (𝑥 + i)))
11291, 93, 1113eqtr3d 2663 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = (1 / (𝑥 + i)))
11387, 112syl5eqr 2669 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i) = (1 / (𝑥 + i)))
114113mpteq2dva 4709 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
11585, 114eqtrd 2655 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
116 ovexd 6640 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 − i)) ∈ V)
11726simp3bi 1076 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
118117adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
1193, 42, 19sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1202, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 23646 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)))
1214addid2i 10176 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
122121mpteq2i 4706 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
123120, 122syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
1242, 119, 49, 123, 65, 70, 60, 71dvmptres 23649 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ i))
125 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 + (i · 𝑥))))
126 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i · 𝑥))))
1272, 2, 118, 88, 39, 40, 124, 82, 125, 126dvmptco 23658 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)))
12894, 20, 88, 21, 90divdiv2d 10785 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))))
12994, 14, 88, 90divdird 10791 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)))
13086a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / i) = -i)
13112, 88, 90divcan3d 10758 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) / i) = 𝑥)
132130, 131oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)) = (-i + 𝑥))
133 negicn 10234 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ ℂ
134 addcom 10174 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
135133, 12, 134sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
136 negsub 10281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
13712, 4, 136sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
138135, 137eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 − i))
139129, 132, 1383eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = (𝑥 − i))
140139oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = (1 / (𝑥 − i)))
14194, 88, 20, 21div23d 10790 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))) = ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i))
142128, 140, 1413eqtr3rd 2664 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i) = (1 / (𝑥 − i)))
143142mpteq2dva 4709 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
144127, 143eqtrd 2655 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
1452, 18, 25, 115, 22, 116, 144dvmptsub 23653 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))))
146 subcl 10232 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
14712, 4, 146sylancl 693 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
148 addcl 9970 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14912, 4, 148sylancl 693 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
15012sqcld 12954 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
151 addcl 9970 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1523, 150, 151sylancr 694 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
153 atandm4 24523 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0))
154153simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
1559, 154syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
156147, 149, 152, 155divsubdird 10792 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))))
157137oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)))
158133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ ℂ)
15912, 158, 88pnpcand 10381 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
160157, 159eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
161 2cn 11043 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
162161, 4, 89divreci 10722 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 · (1 / i))
16386oveq2i 6621 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / i)) = (2 · -i)
164162, 163eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 · -i)
1651332timesi 11099 . . . . . . . . . 10 (2 · -i) = (-i + -i)
166133, 4negsubi 10311 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i − i)
167164, 165, 1663eqtri 2647 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i − i)
168160, 167syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (2 / i))
169168oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
170147mulid1d 10009 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · 1) = (𝑥 − i))
171147, 149mulcomd 10013 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
172 i2 12913 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
173172oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) − -1)
174 subneg 10282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
175150, 3, 174sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
176173, 175syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) + 1))
177 subsq 12920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
17812, 4, 177sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
179 addcom 10174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
180150, 3, 179sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
181176, 178, 1803eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)) = (1 + (𝑥↑2)))
182171, 181eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = (1 + (𝑥↑2)))
183170, 182oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))))
184 subneg 10282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
18512, 4, 184sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
186 atandm 24520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
1879, 186sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
188187simp2d 1072 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ -i)
189 subeq0 10259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) = 0 ↔ 𝑥 = -i))
190189necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
19112, 133, 190sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
192188, 191mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) ≠ 0)
193185, 192eqnetrrd 2858 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ≠ 0)
194187simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ i)
195 subeq0 10259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) = 0 ↔ 𝑥 = i))
196195necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
19712, 4, 196sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
198194, 197mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ≠ 0)
19994, 149, 147, 193, 198divcan5d 10779 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = (1 / (𝑥 + i)))
200183, 199eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 + i)))
201149mulid1d 10009 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · 1) = (𝑥 + i))
202201, 181oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))))
20394, 147, 149, 198, 193divcan5d 10779 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = (1 / (𝑥 − i)))
204202, 203eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 − i)))
205200, 204oveq12d 6628 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))) = ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))))
206156, 169, 2053eqtr3rd 2664 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
207206mpteq2dva 4709 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
208145, 207eqtrd 2655 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
209 halfcl 11209 . . . . 5 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
2104, 209mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (i / 2) ∈ ℂ)
2112, 23, 24, 208, 210dvmptcmul 23650 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
212 df-atan 24511 . . . . . . 7 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
213212reseq1i 5357 . . . . . 6 (arctan ↾ 𝑆) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆)
214 atanf 24524 . . . . . . . . 9 arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
215214fdmi 6014 . . . . . . . 8 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
2167, 215sseqtri 3621 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
217 resmpt 5413 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
218216, 217ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
219213, 218eqtri 2643 . . . . 5 (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
220219a1i 11 . . . 4 (⊤ → (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
221220oveq2d 6626 . . 3 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))))
222 2ne0 11065 . . . . . . 7 2 ≠ 0
223 divcan6 10684 . . . . . . 7 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((i / 2) · (2 / i)) = 1)
2244, 89, 161, 222, 223mp4an 708 . . . . . 6 ((i / 2) · (2 / i)) = 1
225224oveq1i 6620 . . . . 5 (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (1 + (𝑥↑2)))
2264, 209mp1i 13 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i / 2) ∈ ℂ)
227161, 4, 89divcli 10719 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ ℂ
228227a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (2 / i) ∈ ℂ)
229226, 228, 152, 155divassd 10788 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
230225, 229syl5eqr 2669 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
231230mpteq2dva 4709 . . 3 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
232211, 221, 2313eqtr4d 2665 . 2 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))))
233232trud 1490 1 (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ⊤wtru 1481   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3189   ∖ cdif 3556   ⊆ wss 3559  {csn 4153  {cpr 4155   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080   ↾ cres 5081  ⟶wf 5848  –1-1-onto→wf1o 5851  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9886  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889  ici 9890   + caddc 9891   · cmul 9893  -∞cmnf 10024   − cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  2c2 11022  (,]cioc 12126  ↑cexp 12808   ↾t crest 16013  TopOpenctopn 16014  ℂfldccnfld 19678  Topctop 20630  TopOnctopon 20647   D cdv 23550  logclog 24222  arctancatan 24508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-tan 14738  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-cmp 21113  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-atan 24511 This theorem is referenced by:  atancn  24580
 Copyright terms: Public domain W3C validator