Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioo 42091
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvbdfbdioo.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioo.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioo.dvbd (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎)
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioo (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥   𝐹,𝑎,𝑏,𝑥   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑏)

Proof of Theorem dvbdfbdioo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioo.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2 dvbdfbdioo.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 dvbdfbdioo.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
62, 4readdcld 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
76rehalfcld 11872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8 dvbdfbdioo.altb . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
9 avglt1 11863 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
102, 4, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
118, 10mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12 avglt2 11864 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
132, 4, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
148, 13mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
153, 5, 7, 11, 14eliood 41649 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
161, 15ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
1716recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
1817abscld 14784 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
20 simplr 765 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
214ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
222ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 11056 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2420, 23remulcld 10659 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → (𝑎 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 10658 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
268ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐴 < 𝐵)
271ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
28 dvbdfbdioo.dmdv . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
2928ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
30 2fveq3 6668 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
3130breq1d 5067 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎))
3231cbvralvw 3447 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎)
3332biimpi 217 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎)
3433adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎)
35 eqid 2818 . . . 4 ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))
3622, 21, 26, 27, 29, 20, 34, 35dvbdfbdioolem2 42090 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))))
37 2fveq3 6668 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝑦)))
3837breq1d 5067 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏))
3938cbvralvw 3447 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏)
40 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑏 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) → ((abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))))
4140ralbidv 3194 . . . . 5 (𝑏 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))))
4239, 41syl5bb 284 . . . 4 (𝑏 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) → (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))))
4342rspcev 3620 . . 3 ((((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
4425, 36, 43syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
45 dvbdfbdioo.dvbd . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎)
4644, 45r19.29a 3286 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  (,)cioo 12726  abscabs 14581   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  42093  ioodvbdlimc2lem  42095
  Copyright terms: Public domain W3C validator