MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbsss 23386
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆

Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 23351 . . . . . . . . . . 11 D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
21reldmmpt2 6644 . . . . . . . . . 10 Rel dom D
3 df-rel 5032 . . . . . . . . . 10 (Rel dom D ↔ dom D ⊆ (V × V))
42, 3mpbi 218 . . . . . . . . 9 dom D ⊆ (V × V)
54sseli 3560 . . . . . . . 8 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V))
6 opelxp1 5061 . . . . . . . 8 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ (V × V) → 𝑆 ∈ V)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ V)
8 opeq1 4331 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → ⟨𝑠, 𝐹⟩ = ⟨𝑆, 𝐹⟩)
98eleq1d 2668 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D ↔ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D ))
10 eleq1 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ))
11 oveq2 6532 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
1211eleq2d 2669 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↔ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
1310, 12anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
149, 13imbi12d 332 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠))) ↔ (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))))
151dmmpt2ssx 7098 . . . . . . . . . 10 dom D ⊆ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠))
1615sseli 3560 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → ⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)))
17 opeliunxp 5080 . . . . . . . . 9 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ 𝑠 ∈ 𝒫 ℂ({𝑠} × (ℂ ↑pm 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
1816, 17sylib 206 . . . . . . . 8 (⟨𝑠, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠)))
1914, 18vtoclg 3235 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))))
207, 19mpcom 37 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)))
2120simpld 473 . . . . 5 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
2221elpwid 4114 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝑆 ⊆ ℂ)
2320simprd 477 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
24 cnex 9870 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
25 elpm2g 7734 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2624, 21, 25sylancr 693 . . . . . 6 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆)))
2723, 26mpbid 220 . . . . 5 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
2827simpld 473 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2927simprd 477 . . . 4 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom 𝐹𝑆)
3022, 28, 29dvbss 23385 . . 3 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
3130, 29sstrd 3574 . 2 (⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
32 df-ov 6527 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) = ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩)
33 ndmfv 6110 . . . . . 6 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → ( D ‘⟨𝑆, 𝐹⟩) = ∅)
3432, 33syl5eq 2652 . . . . 5 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → (𝑆 D 𝐹) = ∅)
3534dmeqd 5232 . . . 4 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = dom ∅)
36 dm0 5244 . . . 4 dom ∅ = ∅
3735, 36syl6eq 2656 . . 3 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) = ∅)
38 0ss 3920 . . 3 ∅ ⊆ 𝑆
3937, 38syl6eqss 3614 . 2 (¬ ⟨𝑆, 𝐹⟩ ∈ dom D → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
4031, 39pm2.61i 174 1 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  cdif 3533  wss 3536  c0 3870  𝒫 cpw 4104  {csn 4121  cop 4127   ciun 4446  cmpt 4634   × cxp 5023  dom cdm 5025  Rel wrel 5030  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  pm cpm 7719  cc 9787  cmin 10114   / cdiv 10530  t crest 15847  TopOpenctopn 15848  fldccnfld 19510  intcnt 20570   lim climc 23346   D cdv 23347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-fz 12150  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-rest 15849  df-topn 15850  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-ntr 20573  df-cnp 20781  df-xms 21873  df-ms 21874  df-limc 23350  df-dv 23351
This theorem is referenced by:  dvaddf  23425  dvmulf  23426  dvcmulf  23428  dvcof  23431  dvmptres2  23445  dvmptcmul  23447  dvmptcj  23451  dvcnvlem  23457  dvcnv  23458  dvef  23461  dvcnvrelem1  23498  dvcnvrelem2  23499  dvcnvre  23500  ulmdvlem1  23872  ulmdvlem3  23874  ulmdv  23875  fperdvper  38609  dvmulcncf  38616  dvdivcncf  38618
  Copyright terms: Public domain W3C validator