MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcmul 23613
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x (𝜑𝑋𝑆)
dvcmul.c (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcmul (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 fconst6g 6051 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4 ssid 3603 . . . 4 𝑆𝑆
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆𝑆)
6 dvcmul.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvcmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcmul.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 recnprss 23574 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1110, 6, 7dvbss 23571 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
12 dvcmul.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
1311, 12sseldd 3584 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
147, 13sseldd 3584 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
15 fconst6g 6051 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
161, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
17 ssid 3603 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
19 dvconst 23586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
2120dmeqd 5286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
22 c0ex 9978 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2322fconst 6048 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
2423fdmi 6009 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ × {0}) = ℂ
2521, 24syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
2610, 25sseqtr4d 3621 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
27 dvres3 23583 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
288, 16, 18, 26, 27syl22anc 1324 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
29 xpssres 5393 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
3010, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
3130oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
3220reseq1d 5355 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
33 xpssres 5393 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3410, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3532, 34eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3628, 31, 353eqtr3d 2663 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3722fconst2 6424 . . . . . 6 ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3836, 37sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
39 fdm 6008 . . . . 5 ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
4038, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
4114, 40eleqtrrd 2701 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
423, 5, 6, 7, 8, 41, 12dvmul 23610 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
4336fveq1d 6150 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
4422fvconst2 6423 . . . . . . 7 (𝐶𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4514, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4643, 45eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
4746oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = (0 · (𝐹𝐶)))
486, 13ffvelrnd 6316 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4948mul02d 10178 . . . 4 (𝜑 → (0 · (𝐹𝐶)) = 0)
5047, 49eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = 0)
51 fvconst2g 6421 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
521, 14, 51syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
5352oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
54 dvfg 23576 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
558, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5655, 12ffvelrnd 6316 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
5756, 1mulcomd 10005 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5853, 57eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5950, 58oveq12d 6622 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
601, 56mulcld 10004 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
6160addid2d 10181 . 2 (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
6242, 59, 613eqtrd 2659 1 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {csn 4148  {cpr 4150   × cxp 5072  dom cdm 5074  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator