MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvre 23827
Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then 𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvre (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre
Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21tgioo2 22653 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3 reelprrecn 10066 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5 retop 22612 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6 dvcnvre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
7 f1ofo 6182 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
8 forn 6156 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
96, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10 dvcnvre.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
11 cncff 22743 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12 frn 6091 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
149, 13eqsstr3d 3673 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
15 uniretop 22613 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1615ntrss2 20909 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
175, 14, 16sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18 f1ocnvfv2 6573 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
196, 18sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
20 f1ocnv 6187 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
21 f1of 6175 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
2322ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
24 dvcnvre.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
25 dvbsss 23711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
2724, 26eqsstr3d 3673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
2815ntrss2 20909 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
295, 27, 28sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
30 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
33 fss 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3432, 30, 33sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3531, 34, 27, 2, 1dvbssntr 23709 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3624, 35eqsstr3d 3673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3729, 36eqssd 3653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
3815isopn3 20918 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
395, 27, 38sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
4037, 39mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
41 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4241rexmet 22641 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
43 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4441, 43tgioo 22646 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4544mopni2 22345 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4642, 45mp3an1 1451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4740, 46sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4823, 47syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4910ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
5024ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
51 dvcnvre.z . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
5251ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
536ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
5423adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
55 rphalfcl 11896 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5655ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5727ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
5857, 54sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5956rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
6058, 59resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
6158, 59readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
62 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6360, 61, 62syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6463biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))))
6564simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6658adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
67 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6867rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6966, 68resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
7060adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
7167, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
7271rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
73 rphalflt 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7467, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7572, 68, 66, 74ltsub2dd 10678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)))
7664simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
7769, 70, 65, 75, 76ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
7861adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
7966, 68readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
8064simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))
8172, 68, 66, 74ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8265, 78, 79, 80, 81lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8369rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
8479rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
85 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8683, 84, 85syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8765, 77, 82, 86mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
8887ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8988ssrdv 3642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
90 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
9190ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9241bl2ioo 22642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9358, 91, 92syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9489, 93sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
95 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
9694, 95sstrd 3646 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
97 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
98 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
99 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
10049, 50, 52, 53, 54, 56, 96, 97, 1, 98, 99dvcnvrelem2 23826 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
10148, 100rexlimddv 3064 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
102101simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10319, 102eqeltrrd 2731 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
104103ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑌𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
105104ssrdv 3642 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10617, 105eqssd 3653 . . 3 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
10715isopn3 20918 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
1085, 14, 107sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
109106, 108mpbird 247 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
110101simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))))
11119fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
112110, 111eleqtrd 2732 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
113112ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
1141cnfldtopon 22633 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11514, 30syl6ss 3648 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
116 resttopon 21013 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
117114, 115, 116sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
11827, 30syl6ss 3648 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
119 resttopon 21013 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
120114, 118, 119sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
121 cncnp 21132 . . . . 5 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
122117, 120, 121syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
12322, 113, 122mpbir2and 977 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
1241, 99, 98cncfcn 22759 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
125115, 118, 124syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
126123, 125eleqtrrd 2733 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
1271, 2, 4, 109, 6, 126, 24, 51dvcnv 23785 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  intcnt 20869   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dvrelog  24428
  Copyright terms: Public domain W3C validator