MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvre 23681
Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then 𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvre (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre
Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21tgioo2 22509 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3 reelprrecn 9973 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5 retop 22470 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6 dvcnvre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
7 f1ofo 6103 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
8 forn 6077 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
96, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10 dvcnvre.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
11 cncff 22599 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12 frn 6012 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
149, 13eqsstr3d 3624 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
15 uniretop 22471 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1615ntrss2 20766 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
175, 14, 16sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18 f1ocnvfv2 6488 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
196, 18sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
20 f1ocnv 6108 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
21 f1of 6096 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
226, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
2322ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
24 dvcnvre.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
25 dvbsss 23567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
2724, 26eqsstr3d 3624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
2815ntrss2 20766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
295, 27, 28sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
30 ax-resscn 9938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
33 fss 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3432, 30, 33sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3531, 34, 27, 2, 1dvbssntr 23565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3624, 35eqsstr3d 3624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3729, 36eqssd 3605 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
3815isopn3 20775 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
395, 27, 38sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
4037, 39mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
41 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4241rexmet 22497 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
43 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4441, 43tgioo 22502 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4544mopni2 22203 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4642, 45mp3an1 1408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4740, 46sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4823, 47syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4910ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
5024ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
51 dvcnvre.z . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
5251ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
536ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
5423adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
55 rphalfcl 11802 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5655ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5727ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
5857, 54sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5956rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
6058, 59resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
6158, 59readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
62 elicc2 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6360, 61, 62syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6463biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))))
6564simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6658adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
67 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6867rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6966, 68resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
7060adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
7167, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
7271rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
73 rphalflt 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7467, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7572, 68, 66, 74ltsub2dd 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)))
7664simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
7769, 70, 65, 75, 76ltletrd 10142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
7861adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
7966, 68readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
8064simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))
8172, 68, 66, 74ltadd2dd 10141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8265, 78, 79, 80, 81lelttrd 10140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8369rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
8479rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
85 elioo2 12155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8683, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8765, 77, 82, 86mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
8887ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8988ssrdv 3594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
90 rpre 11783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
9190ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9241bl2ioo 22498 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9358, 91, 92syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9489, 93sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
95 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
9694, 95sstrd 3598 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
97 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
98 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
99 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
10049, 50, 52, 53, 54, 56, 96, 97, 1, 98, 99dvcnvrelem2 23680 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
10148, 100rexlimddv 3033 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
102101simpld 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10319, 102eqeltrrd 2705 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
104103ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑌𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
105104ssrdv 3594 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10617, 105eqssd 3605 . . 3 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
10715isopn3 20775 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
1085, 14, 107sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
109106, 108mpbird 247 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
110101simprd 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))))
11119fveq2d 6154 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
112110, 111eleqtrd 2706 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
113112ralrimiva 2965 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
1141cnfldtopon 22491 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11514, 30syl6ss 3600 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
116 resttopon 20870 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
117114, 115, 116sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
11827, 30syl6ss 3600 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
119 resttopon 20870 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
120114, 118, 119sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
121 cncnp 20989 . . . . 5 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
122117, 120, 121syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
12322, 113, 122mpbir2and 956 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
1241, 99, 98cncfcn 22615 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
125115, 118, 124syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
126123, 125eleqtrrd 2707 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
1271, 2, 4, 109, 6, 126, 24, 51dvcnv 23639 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  wss 3560  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  ccom 5083  wf 5846  ontowfo 5848  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  +crp 11776  (,)cioo 12114  [,]cicc 12117  abscabs 13903  t crest 15997  TopOpenctopn 15998  topGenctg 16014  ∞Metcxmt 19645  ballcbl 19647  MetOpencmopn 19650  fldccnfld 19660  Topctop 20612  TopOnctopon 20613  intcnt 20726   Cn ccn 20933   CnP ccnp 20934  cnccncf 22582   D cdv 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by:  dvrelog  24278
  Copyright terms: Public domain W3C validator