MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem2 23685
Description: Lemma for dvcnvre 23686. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnvre.c (𝜑𝐶𝑋)
dvcnvre.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
dvcnvre.t 𝑇 = (topGen‘ran (,))
dvcnvre.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnvre.m 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
dvcnvre.n 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))

Proof of Theorem dvcnvrelem2
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.t . . . . . 6 𝑇 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22475 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2694 . . . . 5 𝑇 ∈ Top
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Top)
5 dvcnvre.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
6 f1ofo 6101 . . . . . 6 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
7 forn 6075 . . . . . 6 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
85, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
9 dvcnvre.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
10 cncff 22604 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
11 frn 6010 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
138, 12eqsstr3d 3619 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
14 imassrn 5436 . . . . 5 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ran 𝐹
1514, 8syl5sseq 3632 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌)
16 uniretop 22476 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
171unieqi 4411 . . . . . 6 𝑇 = (topGen‘ran (,))
1816, 17eqtr4i 2646 . . . . 5 ℝ = 𝑇
1918ntrss 20769 . . . 4 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
204, 13, 15, 19syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
21 dvcnvre.d . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
22 dvcnvre.z . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
23 dvcnvre.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
24 dvcnvre.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
25 dvcnvre.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
269, 21, 22, 5, 23, 24, 25dvcnvrelem1 23684 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
271fveq2i 6151 . . . . 5 (int‘𝑇) = (int‘(topGen‘ran (,)))
2827fveq1i 6149 . . . 4 ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
2926, 28syl6eleqr 2709 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
3020, 29sseldd 3584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌))
31 f1ocnv 6106 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
32 f1of 6094 . . . . . . 7 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
335, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
34 ffun 6005 . . . . . 6 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
35 funcnvres 5925 . . . . . 6 (Fun 𝐹(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
3633, 34, 353syl 18 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
37 dvbsss 23572 . . . . . . . . . . 11 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
3821, 37syl6eqssr 3635 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
39 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
4038, 39syl6ss 3595 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
41 cncfss 22610 . . . . . . . . 9 ((((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
4225, 40, 41syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
43 f1of1 6093 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
445, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
45 f1ores 6108 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
4644, 25, 45syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
47 dvcnvre.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4847tgioo2 22514 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
491, 48eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐽t ℝ)
5049oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
5147cnfldtop 22497 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5325, 38sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)
54 reex 9971 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
56 restabs 20879 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5752, 53, 55, 56syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5850, 57syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5938, 23sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6024rpred 11816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
6159, 60resubcld 10402 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
6259, 60readdcld 10013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
63 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
641, 63icccmp 22536 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6561, 62, 64syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6658, 65eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
67 f1of 6094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6846, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6912, 39syl6ss 3595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
7014, 69syl5ss 3594 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ)
71 rescncf 22608 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋 → (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)))
7225, 9, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ))
73 cncffvrn 22609 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7470, 72, 73syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7568, 74mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
76 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7747, 76cncfcnvcn 22632 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7866, 75, 77syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7946, 78mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
8042, 79sseldd 3584 . . . . . . 7 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
81 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
82 dvcnvre.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
8347, 81, 82cncfcn 22620 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8470, 40, 83syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8580, 84eleqtrd 2700 . . . . . 6 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8659, 24ltsubrpd 11848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝐶)
8761, 59, 86ltled 10129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ 𝐶)
8859, 24ltaddrpd 11849 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
8959, 62, 88ltled 10129 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))
90 elicc2 12180 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
9161, 62, 90syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
9259, 87, 89, 91mpbir3and 1243 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
93 ffun 6005 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋⟶ℝ → Fun 𝐹)
949, 10, 933syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
95 fdm 6008 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑋)
969, 10, 953syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
9725, 96sseqtr4d 3621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹)
98 funfvima2 6447 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
9994, 97, 98syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
10092, 99mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
10147cnfldtopon 22496 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
102 resttopon 20875 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ) → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
103101, 70, 102sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
104 toponuni 20642 . . . . . . . 8 ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
106100, 105eleqtrd 2700 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
107 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
108107cncnpi 20992 . . . . . 6 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀) ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
10985, 106, 108syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
11036, 109eqeltrrd 2699 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
111 dvcnvre.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
112111oveq1i 6614 . . . . . . 7 (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
113 ssexg 4764 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
11413, 54, 113sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ V)
115 restabs 20879 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌𝑌 ∈ V) → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
11652, 15, 114, 115syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
117112, 116syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
118117oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀))
119118fveq1d 6150 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) = (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
120110, 119eleqtrrd 2701 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
12113, 39syl6ss 3595 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
122 resttopon 20875 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
123101, 121, 122sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
124111, 123syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌))
125 topontop 20641 . . . . 5 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑁 ∈ Top)
126124, 125syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Top)
127 toponuni 20642 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝑁)
128124, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 = 𝑁)
12915, 128sseqtrd 3620 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁)
13015, 13sstrd 3593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℝ)
131 difssd 3716 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝑌) ⊆ ℝ)
132130, 131unssd 3767 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ)
133 ssun1 3754 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))
134133a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)))
13518ntrss 20769 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
1364, 132, 134, 135syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
137136, 29sseldd 3584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
138 f1of 6094 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
1395, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
140139, 23ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
141137, 140elind 3776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
142 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑇t 𝑌) = (𝑇t 𝑌)
14318, 142restntr 20896 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
1444, 13, 15, 143syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
145 restabs 20879 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14652, 13, 55, 145syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14749oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 (𝑇t 𝑌) = ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌)
148146, 147, 1113eqtr4g 2680 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇t 𝑌) = 𝑁)
149148fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝑌)) = (int‘𝑁))
150149fveq1d 6150 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
151144, 150eqtr3d 2657 . . . . 5 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
152141, 151eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
153128feq2d 5988 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑌𝑋𝐹: 𝑁𝑋))
15433, 153mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐹: 𝑁𝑋)
155 resttopon 20875 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
156101, 40, 155sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
15782, 156syl5eqel 2702 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋))
158 toponuni 20642 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝑀)
159 feq3 5985 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑀 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
160157, 158, 1593syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
161154, 160mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑁 𝑀)
162 eqid 2621 . . . . 5 𝑁 = 𝑁
163 eqid 2621 . . . . 5 𝑀 = 𝑀
164162, 163cnprest 21003 . . . 4 (((𝑁 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁) ∧ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ 𝐹: 𝑁 𝑀)) → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
165126, 129, 152, 161, 164syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
166120, 165mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
16730, 166jca 554 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555   cuni 4402   class class class wbr 4613  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  Fun wfun 5841  wf 5843  1-1wf1 5844  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  intcnt 20731   Cn ccn 20938   CnP ccnp 20939  Compccmp 21099  cnccncf 22587   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  dvcnvre  23686
  Copyright terms: Public domain W3C validator