MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcobr 23906
Description: The chain rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvco 23907. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvco.x (𝜑𝑋𝑆)
dvco.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvco.y (𝜑𝑌𝑇)
dvcobr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcobr.t (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
dvco.k (𝜑𝐾𝑉)
dvco.l (𝜑𝐿𝑉)
dvco.bf (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvco.bg (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
dvco.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcobr (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4 (𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿)
2 eqid 2758 . . . . 5 (𝐽t 𝑇) = (𝐽t 𝑇)
3 dvco.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2758 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvcobr.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
6 dvco.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
7 dvco.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcobr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
97, 8sstrd 3752 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
106, 9fssd 6216 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
11 dvco.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
122, 3, 4, 5, 10, 11eldv 23859 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
131, 12mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1413simpld 477 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌))
15 dvco.bf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾)
16 dvco.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
178, 16, 7dvcl 23860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1815, 17mpdan 705 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2016adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
21 eldifi 3873 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
22 ffvelrn 6518 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
236, 21, 22syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑋)
2420, 23ffvelrnd 6521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
2524adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
266adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐺:𝑌𝑋)
275, 10, 11dvbss 23862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
28 reldv 23831 . . . . . . . . . . . . 13 Rel (𝑇 D 𝐺)
29 releldm 5511 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝑇 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3028, 1, 29sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
3127, 30sseldd 3743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑌)
3231adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑌)
3326, 32ffvelrnd 6521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
3420, 33ffvelrnd 6521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3534adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐹‘(𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
3625, 35subcld 10582 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
3710ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
3821ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝑧𝑌)
3937, 38ffvelrnd 6521 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
4031ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → 𝐶𝑌)
4137, 40ffvelrnd 6521 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4239, 41subcld 10582 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
43 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))
4439, 41subeq0ad 10592 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4544necon3abid 2966 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
4643, 45mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ≠ 0)
4736, 42, 46divcld 10991 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
4819, 47ifclda 4262 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
4911, 5sstrd 3752 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
5010, 49, 31dvlem 23857 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
51 ssid 3763 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
5251a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
533cnfldtopon 22785 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
54 txtopon 21594 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5553, 53, 54mp2an 710 . . . . . 6 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5655toponunii 20921 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
5756restid 16294 . . . . . 6 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) → ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽))
5855, 57ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
5958eqcomi 2767 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
6023anim1i 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
61 eldifsn 4460 . . . . . . 7 ((𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)))
6260, 61sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶)) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
6362anasss 682 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (𝐺𝐶))) → (𝐺𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}))
64 eldifsni 4464 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → 𝑦 ≠ (𝐺𝐶))
65 ifnefalse 4240 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ (𝐺𝐶) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6664, 65syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
6766adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
686, 31ffvelrnd 6521 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
6916, 9, 68dvlem 23857 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) ∈ ℂ)
7067, 69eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)})) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) ∈ ℂ)
71 limcresi 23846 . . . . . . 7 (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶)
726feqmptd 6409 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)))
7372reseq1d 5548 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})))
74 difss 3878 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
75 resmpt 5605 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐺𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧))
7773, 76syl6eq 2808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)))
7877oveq1d 6826 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ (𝑌 ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
7971, 78syl5sseq 3792 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
80 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
8180, 3dvcnp2 23880 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌𝑇) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑇 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
825, 10, 11, 30, 81syl31anc 1480 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
833, 80cnplimc 23848 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8449, 31, 83syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
8582, 84mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
8685simprd 482 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
8779, 86sseldd 3743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
88 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
89 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9088, 3, 89, 8, 16, 7eldv 23859 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝐶)(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))))
9115, 90mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))))
9291simprd 482 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶)))
9366mpteq2ia 4890 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))
9493oveq1i 6821 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) lim (𝐺𝐶))
9592, 94syl6eleqr 2848 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {(𝐺𝐶)}) ↦ if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))))) lim (𝐺𝐶)))
96 eqeq1 2762 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 = (𝐺𝐶) ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
97 fveq2 6350 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
9897oveq1d 6826 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
99 oveq1 6818 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))
10098, 99oveq12d 6829 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
10196, 100ifbieq2d 4253 . . . . 5 (𝑦 = (𝐺𝑧) → if(𝑦 = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑦 − (𝐺𝐶)))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))))
102 iftrue 4234 . . . . . 6 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
103102ad2antll 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))) → if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) = 𝐾)
10463, 70, 87, 95, 101, 103limcco 23854 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))) lim 𝐶))
10513simprd 482 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1063mulcn 22869 . . . . 5 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1075, 10, 11dvcl 23860 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑇 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
1081, 107mpdan 705 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
109 opelxpi 5303 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
11018, 108, 109syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
11156cncnpi 21282 . . . . 5 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
112106, 110, 111sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
11348, 50, 52, 52, 3, 59, 104, 105, 112limccnp2 23853 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
114 oveq1 6818 . . . . . . . 8 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
115114eqeq1d 2760 . . . . . . 7 (𝐾 = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
116 oveq1 6818 . . . . . . . 8 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
117116eqeq1d 2760 . . . . . . 7 ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) → (((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) ↔ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶))))
11819mul01d 10425 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · 0) = 0)
1199adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑋 ⊆ ℂ)
120119, 23sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
121119, 33sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
122120, 121subeq0ad 10592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0 ↔ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)))
123122biimpar 503 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = 0)
124123oveq1d 6826 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
12549adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑌 ⊆ ℂ)
12621adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝑌)
127125, 126sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
128125, 32sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
129127, 128subcld 10582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
130 eldifsni 4464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
131130adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
132127, 128, 131subne0d 10591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
133129, 132div0d 10990 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
134133adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (0 / (𝑧𝐶)) = 0)
135124, 134eqtrd 2792 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = 0)
136135oveq2d 6827 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝐾 · 0))
137 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
13824, 34subeq0ad 10592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑧)) = (𝐹‘(𝐺𝐶))))
139137, 138syl5ibr 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0))
140139imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) = 0)
141140oveq1d 6826 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (0 / (𝑧𝐶)))
142141, 134eqtrd 2792 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = 0)
143118, 136, 1423eqtr4d 2802 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝐾 · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
144129adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
145132adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
14636, 42, 144, 46, 145dmdcan2d 11021 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) ∧ ¬ (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶)) → ((((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
147115, 117, 143, 146ifbothda 4265 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
148 fvco3 6435 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝑌𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
1496, 21, 148syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑧)))
150 fvco3 6435 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌𝑋𝐶𝑌) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
1516, 31, 150syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
152151adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺𝐶)))
153149, 152oveq12d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))))
154153oveq1d 6826 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
155147, 154eqtr4d 2795 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
156155mpteq2dva 4894 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))))
157156oveq1d 6826 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (if((𝐺𝑧) = (𝐺𝐶), 𝐾, (((𝐹‘(𝐺𝑧)) − (𝐹‘(𝐺𝐶))) / ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)))) · (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
158113, 157eleqtrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
159 eqid 2758 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
160 fco 6217 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
16116, 6, 160syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
1622, 3, 159, 5, 161, 11eldv 23859 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑇))‘𝑌) ∧ (𝐾 · 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
16314, 158, 162mpbir2and 995 1 (𝜑𝐶(𝑇 D (𝐹𝐺))(𝐾 · 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  cdif 3710  wss 3713  ifcif 4228  {csn 4319  cop 4325   class class class wbr 4802  cmpt 4879   × cxp 5262  dom cdm 5264  cres 5266  ccom 5268  Rel wrel 5269  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  cc 10124  0cc0 10126   · cmul 10131  cmin 10456   / cdiv 10874  t crest 16281  TopOpenctopn 16282  fldccnfld 19946  TopOnctopon 20915  intcnt 21021   Cn ccn 21228   CnP ccnp 21229   ×t ctx 21563   lim climc 23823   D cdv 23824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-ntr 21024  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828
This theorem is referenced by:  dvco  23907  dvcof  23908  dvef  23940
  Copyright terms: Public domain W3C validator