Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvconstbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconstbi 38054
 Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 23620 and dveq0 23701. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvconstbi (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 elpri 4175 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5 0re 10000 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6 eleq2 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
75, 6mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8 0cn 9992 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
9 eleq2 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
108, 9mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
117, 10jaoi 394 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13 ffvelrn 6323 . . . . . . 7 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
141, 12, 13syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
16 ffn 6012 . . . . . . . 8 (𝑌:𝑆⟶ℂ → 𝑌 Fn 𝑆)
171, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 Fn 𝑆)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
19 fvex 6168 . . . . . . 7 (𝑌‘0) ∈ V
20 fnconstg 6060 . . . . . . 7 ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2119, 20mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2219fvconst2 6434 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
2322adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
24 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
252, 24sblpnf 38030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2612, 25mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2726eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦𝑆))
2827biimpar 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
2912, 26eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
302adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
31 ssid 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆𝑆
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆𝑆)
331adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
3412adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
35 pnfxr 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
37 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
3826adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
39 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
4138, 40eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
42 eqimss 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
4526eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥𝑆))
4645biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
47463adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
48 fveq1 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
49 c0ex 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ V
5049fvconst2 6434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
5148, 50sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
5251, 8syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
5352abscld 14125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5451abs00bd 13981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
55 eqle 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5653, 54, 55syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57563adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5847, 57syld3an3 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
59583expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
6030, 24, 32, 33, 34, 36, 37, 43, 44, 59dvlip2 23696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
6129, 60sylanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62613impdi 1378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
6328, 62syl3an3 1358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64633expa 1262 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
65643impdi 1378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
66 recnprss 23608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6867sseld 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
69 subcl 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
7069abscld 14125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
718, 70mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7268, 71syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
7372imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7473recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
7574mul02d 10194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
76753adant2 1078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
7765, 76breqtrd 4649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0)
78 ffvelrn 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) ∈ ℂ)
7913, 78anim12dan 881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
801, 79sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
81803impb 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
8212, 81syl3an2 1357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
83823anidm12 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
84 subcl 10240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8685absge0d 14133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
87863adant2 1078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
8885abscld 14125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ)
89 letri3 10083 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
9088, 5, 89sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
91903adant2 1078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
9277, 87, 91mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0)
9385abs00ad 13980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
94933adant2 1078 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
9592, 94mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0)
96 subeq0 10267 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9783, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
98973adant2 1078 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9995, 98mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
100993expa 1262 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
10123, 100eqtr2d 2656 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
10218, 21, 101eqfnfvd 6280 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103 sneq 4165 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
104103xpeq2d 5109 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
105104eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})))
106105rspcev 3299 . . . . 5 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
10715, 102, 106syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
108107ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
109 oveq2 6623 . . . . . 6 (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
1101093ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
111 dvsconst 38050 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1122, 111sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1131123adant3 1079 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
114110, 113eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
115114rexlimdv3a 3028 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
116108, 115impbid 202 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117 sneq 4165 . . . . 5 (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
118117xpeq2d 5109 . . . 4 (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
119118eqeq2d 2631 . . 3 (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
120119cbvrexv 3164 . 2 (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
121116, 120syl6bbr 278 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909  Vcvv 3190   ⊆ wss 3560  {csn 4155  {cpr 4157   class class class wbr 4623   × cxp 5082  dom cdm 5084   ↾ cres 5086   ∘ ccom 5088   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  ℝ*cxr 10033   ≤ cle 10035   − cmin 10226  abscabs 13924  ballcbl 19673   D cdv 23567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571 This theorem is referenced by:  expgrowth  38055
 Copyright terms: Public domain W3C validator