Theorem dvconstbi 40659

Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 24508 and dveq0 24591. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstbi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvconstbi	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstbi.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
2		dvconstbi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		elpri 4582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5		0re 10637	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		eleq2 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
7	5, 6	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8		0cn 10627	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		eleq2 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
10	8, 9	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
11	7, 10	jaoi 853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13		ffvelrn 6843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
14	1, 12, 13	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
15	14	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
16	1	ffnd 6509	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑆)
17	16	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18		fvex 6677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌‘0) ∈ V
19		fnconstg 6561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
21	18	fvconst2 6960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
22	21	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
24	2, 23	sblpnf 40635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
25	12, 24	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
26	25	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
27	26	biimpar 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
28	12, 25	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
29	2	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30		ssidd 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ⊆ 𝑆)
31	1	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
32	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33		pnfxr 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
36	25	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37		dvconstbi.dy	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
39	36, 38	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40		eqimss 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
42	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
43	25	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥 ∈ 𝑆))
44	43	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
45	44	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
46		fveq1 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47		c0ex 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ V
48	47	fvconst2 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
49	46, 48	sylan9eq 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
50	49, 8	eqeltrdi 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	abscld 14790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
52	49	abs00bd 14645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53		eqle 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
54	51, 52, 53	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55	54	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
56	45, 55	syld3an3 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57	56	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
58	29, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57	dvlip2 24586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
59	28, 58	sylanr1 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60	59	3impdi 1346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
61	27, 60	syl3an3 1161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62	61	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63	62	3impdi 1346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64		recnprss 24496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
66	65	sseld 3965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
67		subcl 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
68	67	abscld 14790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
69	8, 68	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
70	66, 69	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
71	70	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 10832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74	73	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
75	63, 74	breqtrd 5084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0)
76		ffvelrn 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ)
77	13, 76	anim12dan 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
78	1, 77	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
79	78	3impb 1111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
80	12, 79	syl3an2 1160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
81	80	3anidm12 1415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
82		subcl 10879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
84	83	absge0d 14798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
85	84	3adant2 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
86	83	abscld 14790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ)
87		letri3 10720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
88	86, 5, 87	sylancl 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
89	88	3adant2 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
90	75, 85, 89	mpbir2and 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0)
91	83	abs00ad 14644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
92	91	3adant2 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
93	90, 92	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0)
94		subeq0 10906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
95	81, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
96	95	3adant2 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
97	93, 96	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
98	97	3expa 1114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
99	22, 98	eqtr2d 2857	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
100	17, 20, 99	eqfnfvd 6799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101		sneq 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102	101	xpeq2d 5579	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103	102	rspceeqv 3637	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
104	15, 100, 103	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105	104	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
107	106	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108		dvsconst 40655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
109	2, 108	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
110	109	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111	107, 110	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112	111	rexlimdv3a 3286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113	105, 112	impbid 214	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114		sneq 4570	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115	114	xpeq2d 5579	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116	115	eqeq2d 2832	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117	116	cbvrexvw 3450	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118	113, 117	syl6bbr 291	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  {csn 4560  {cpr 4562   class class class wbr 5058   × cxp 5547  dom cdm 5549   ↾ cres 5551   ∘ ccom 5553   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670   − cmin 10864  abscabs 14587  ballcbl 20526   D cdv 24455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459

This theorem is referenced by:  expgrowth  40660