MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcxp1 24388
Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcxp1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9975 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 relogcl 24233 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
43adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5 rpreccl 11804 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
65adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7 recn 9973 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8 mulcl 9967 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
9 efcl 14741 . . . . 5 ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
117, 10sylan2 491 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12 ovex 6635 . . . 4 ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
14 dvrelog 24290 . . . 4 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
15 relogf1o 24224 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
16 f1of 6096 . . . . . . . 8 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
1715, 16mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
1817feqmptd 6208 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
19 fvres 6166 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2019mpteq2ia 4702 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
2118, 20syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
2221oveq2d 6623 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
2314, 22syl5reqr 2670 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
24 eqid 2621 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2524cnfldtopon 22499 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
26 toponmax 20642 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
28 ax-resscn 9940 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ⊆ ℂ)
30 df-ss 3570 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
3129, 30sylib 208 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
3212a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
33 cnelprrecn 9976 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3433a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
35 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
36 efcl 14741 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3736adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
38 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 1cnd 10003 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4034dvmptid 23633 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
41 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4234, 38, 39, 40, 41dvmptcmul 23640 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
43 mulid1 9984 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4443mpteq2dv 4707 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
4542, 44eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
46 dvef 23654 . . . . . 6 (ℂ D exp) = exp
47 eff 14740 . . . . . . . . . 10 exp:ℂ⟶ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
4948feqmptd 6208 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
5049eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)) = exp)
5150oveq2d 6623 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (ℂ D exp))
5246, 51, 503eqtr4a 2681 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
53 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
5434, 34, 8, 35, 37, 37, 45, 52, 53, 53dvmptco 23648 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
5524, 2, 27, 31, 10, 32, 54dvmptres3 23632 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
56 oveq2 6615 . . . 4 (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
5756fveq2d 6154 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
5857oveq1d 6622 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
592, 2, 4, 6, 11, 13, 23, 55, 57, 58dvmptco 23648 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
60 rpcn 11788 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
6160adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
62 rpne0 11795 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
6362adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
64 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6561, 63, 64cxpefd 24365 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
6665mpteq2dva 4706 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
6766oveq2d 6623 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
68 1cnd 10003 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
6961, 63, 64, 68cxpsubd 24371 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)))
7061cxp1d 24359 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
7170oveq2d 6623 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥))
7261, 64cxpcld 24361 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℂ)
7372, 61, 63divrecd 10751 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
7469, 71, 733eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
7574oveq2d 6623 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
766rpcnd 11821 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
7764, 72, 76mul12d 10192 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
7872, 64, 76mulassd 10010 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
7977, 78eqtr4d 2658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
8065oveq1d 6622 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
8180oveq1d 6622 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
8275, 79, 813eqtrd 2659 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
8382mpteq2dva 4706 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
8459, 67, 833eqtr4d 2665 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cin 3555  wss 3556  {cpr 4152  cmpt 4675  cres 5078  wf 5845  1-1-ontowf1o 5848  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   · cmul 9888  cmin 10213   / cdiv 10631  +crp 11779  expce 14720  TopOpenctopn 16006  fldccnfld 19668  TopOnctopon 20637   D cdv 23540  logclog 24212  𝑐ccxp 24213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061  df-shft 13744  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ef 14726  df-sin 14728  df-cos 14729  df-pi 14731  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-cmp 21103  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544  df-log 24214  df-cxp 24215
This theorem is referenced by:  dvsqrt  24390
  Copyright terms: Public domain W3C validator