Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdivcncf 38611
Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivcncf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivcncf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivcncf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivcncf.fdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
dvdivcncf.gdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
dvdivcncf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 / 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))

Proof of Theorem dvdivcncf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdivcncf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvdivcncf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvdivcncf.g . . 3 (𝜑𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4 dvdivcncf.fdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5 cncff 22452 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6 fdm 5950 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8 dvdivcncf.gdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
9 cncff 22452 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
10 fdm 5950 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
121, 2, 3, 7, 11dvdivf 38606 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 − ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) ∘𝑓 / (𝐺𝑓 · 𝐺)))
13 ax-resscn 9850 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
14 sseq1 3589 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
1513, 14mpbiri 247 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
16 eqimss 3620 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
18 elpri 4145 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20 pm3.44 532 . . . . . . 7 (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
2117, 19, 20mpsyl 66 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
22 difssd 3700 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
233, 22fssd 5956 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
24 dvbsss 23417 . . . . . . 7 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
257, 24syl6eqssr 3619 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
26 dvcn 23435 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) → 𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
2721, 23, 25, 11, 26syl31anc 1321 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
284, 27mulcncff 38547 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
29 dvcn 23435 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
3021, 2, 25, 7, 29syl31anc 1321 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
318, 30mulcncff 38547 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3228, 31subcncff 38559 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 − ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
33 eldifi 3694 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
35 eldifi 3694 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
3635adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
3734, 36mulcld 9917 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
38 eldifsni 4261 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
40 eldifsni 4261 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4140adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
4234, 36, 39, 41mulne0d 10531 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
43 eldifsn 4260 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
4437, 42, 43sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4544adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
461, 25ssexd 4728 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
47 inidm 3784 . . . . 5 (𝑋𝑋) = 𝑋
4845, 3, 3, 46, 46, 47off 6788 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4927, 27mulcncff 38547 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
50 cncffvrn 22457 . . . . 5 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ)) → ((𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺𝑓 · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
5122, 49, 50syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺𝑓 · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
5248, 51mpbird 246 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})))
5332, 52divcncff 38571 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 − ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) ∘𝑓 / (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5412, 53eqeltrd 2688 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 / 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  cdif 3537  wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  dom cdm 5028  wf 5786  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793   · cmul 9798  cmin 10118   / cdiv 10536  cnccncf 22435   D cdv 23378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-t1 20876  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382
This theorem is referenced by:  fourierdlem58  38851  fourierdlem59  38852
  Copyright terms: Public domain W3C validator