MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0 14781
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 11215 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21mul02d 10085 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3 0z 11221 . . 3 0 ∈ ℤ
4 dvds0lem 14776 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
54ex 448 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
63, 3, 5mp3an13 1406 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
72, 6mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  0cc0 9792   · cmul 9797  cz 11210  cdvds 14767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-neg 10120  df-z 11211  df-dvds 14768
This theorem is referenced by:  0dvds  14786  fsumdvds  14814  alzdvds  14826  fzo0dvdseq  14829  z0even  14887  bitsfzo  14941  bitsmod  14942  bitsinv1lem  14947  sadadd3  14967  gcddvds  15009  gcd0id  15024  bezoutlem4  15043  dfgcd2  15047  dvdssq  15064  dvdslcm  15095  lcmdvds  15105  dvdslcmf  15128  mulgcddvds  15153  odzdvds  15284  pcdvdsb  15357  pcz  15369  sylow2blem3  17806  odadd1  18020  odadd2  18021  cyggex2  18067  ppiublem2  24645  lgsdir2lem3  24769  lgsne0  24777  lgsqr  24793  eupath2lem3  26272  eupath2  26273  nn0prpw  31294  poimirlem25  32400  poimirlem26  32401  poimirlem27  32402  poimirlem28  32403  congid  36352  jm2.18  36369  jm2.19  36374  jm2.22  36376  jm2.23  36377  etransclem24  38948  etransclem25  38949  etransclem28  38952  eupth2lem3lem3  41393  eupth2lemb  41400
  Copyright terms: Public domain W3C validator