MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0 15044
Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 11420 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21mul02d 10272 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3 0z 11426 . . 3 0 ∈ ℤ
4 dvds0lem 15039 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
54ex 449 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
63, 3, 5mp3an13 1455 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
72, 6mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974   · cmul 9979  cz 11415  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-neg 10307  df-z 11416  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  0dvds  15049  fsumdvds  15077  alzdvds  15089  fzo0dvdseq  15092  z0even  15150  bitsfzo  15204  bitsmod  15205  bitsinv1lem  15210  sadadd3  15230  gcddvds  15272  gcd0id  15287  bezoutlem4  15306  dfgcd2  15310  dvdssq  15327  dvdslcm  15358  lcmdvds  15368  dvdslcmf  15391  mulgcddvds  15416  odzdvds  15547  pcdvdsb  15620  pcz  15632  sylow2blem3  18083  odadd1  18297  odadd2  18298  cyggex2  18344  ppiublem2  24973  lgsdir2lem3  25097  lgsne0  25105  lgsqr  25121  eupth2lem3lem3  27208  eupth2lemb  27215  nn0prpw  32443  poimirlem25  33564  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  congid  37855  jm2.18  37872  jm2.19  37877  jm2.22  37879  jm2.23  37880  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem28  40797
  Copyright terms: Public domain W3C validator