Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsacongtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsacongtr 36368
Description: Alternating congruence passes from a base to a dividing base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsacongtr (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

Proof of Theorem dvdsacongtr
StepHypRef Expression
1 simplr 787 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷𝐴)
2 simpr 475 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐶))
3 simprr 791 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
43ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
5 simp-4l 801 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
76ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8 simprl 789 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
98ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
107, 9zsubcld 11315 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
11 dvdstr 14798 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶)))
124, 5, 10, 11syl3anc 1317 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶)))
131, 2, 12mp2and 710 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶))
1413ex 448 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶)))
15 simplr 787 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷𝐴)
16 simpr 475 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))
173ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
18 simp-4l 801 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
208ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
2120znegcld 11312 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
2219, 21zsubcld 11315 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐵 − -𝐶) ∈ ℤ)
23 dvdstr 14798 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − -𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
2417, 18, 22, 23syl3anc 1317 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
2515, 16, 24mp2and 710 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))
2625ex 448 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
2714, 26orim12d 878 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) → ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
2827expimpd 626 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐷𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
29283impia 1252 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  w3a 1030  wcel 1975   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523  cmin 10113  -cneg 10114  cz 11206  cdvds 14763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-dvds 14764
This theorem is referenced by:  jm2.27a  36389
  Copyright terms: Public domain W3C validator