Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsacongtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsacongtr 37868
Description: Alternating congruence passes from a base to a dividing base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsacongtr (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

Proof of Theorem dvdsacongtr
StepHypRef Expression
1 simplr 807 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷𝐴)
2 simpr 476 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐶))
3 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
43ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
5 simp-4l 823 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
76ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
98ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
107, 9zsubcld 11525 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
11 dvdstr 15065 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶)))
124, 5, 10, 11syl3anc 1366 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶)))
131, 2, 12mp2and 715 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶))
1413ex 449 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵𝐶)))
15 simplr 807 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷𝐴)
16 simpr 476 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))
173ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
18 simp-4l 823 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
196ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
208ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
2120znegcld 11522 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
2219, 21zsubcld 11525 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐵 − -𝐶) ∈ ℤ)
23 dvdstr 15065 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − -𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
2417, 18, 22, 23syl3anc 1366 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → ((𝐷𝐴𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
2515, 16, 24mp2and 715 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))
2625ex 449 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
2714, 26orim12d 901 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷𝐴) → ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
2827expimpd 628 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐷𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
29283impia 1280 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cmin 10304  -cneg 10305  cz 11415  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  jm2.27a  37889
  Copyright terms: Public domain W3C validator