Theorem dvdsaddre2b 15659

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 15658 only requiring 𝐵 to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsaddre2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsaddre2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsadd2b 15658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
2	1	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
3	2	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
4	3	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
5	4	3imp 1107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
6	5	com12 32	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
7		dvdszrcl 15614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
9	7, 8	simpl2im 506	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
10	9	com12 32	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
11	10	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
12		dvdszrcl 15614	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ))
13		zcn 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		recn 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	14, 16	addcomd 10844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
18		eldif 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ))
19		nzadd 12033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (ℝ ∖ ℤ))
20	19	eldifbd 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
21	20	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
22	18, 21	syl5bir 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
23	22	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
24	17, 23	eqneltrd 2934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
25	24	exp32 423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)))
26		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))
27	25, 26	syl8 76	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
28	27	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
29	28	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵)))))
31	30	3imp 1107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵)))
32	31	impcom 410	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	32	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → 𝐴 ∥ 𝐵))
34	12, 33	simpl2im 506	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → 𝐴 ∥ 𝐵))
35	34	com12 32	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
36	11, 35	impbid 214	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
37	36	ex 415	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
38	6, 37	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3935   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538   + caddc 10542  ℤcz 11984   ∥ cdvds 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-dvds 15610

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  25987