Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsdivcl 15240
 Description: The complement of a divisor of 𝑁 is also a divisor of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 4807 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑁𝐴𝑁))
21elrab 3504 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁))
3 nndivdvds 15191 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
43biimpd 219 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
54expcom 450 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
65com23 86 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ)))
76imp 444 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ))
8 nnne0 11245 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
98anim1i 593 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴𝑁))
109ancomd 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝐴𝑁𝐴 ≠ 0))
11 divconjdvds 15239 . . . . . 6 ((𝐴𝑁𝐴 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)
137, 12jctird 568 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
142, 13sylbi 207 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁)))
1514impcom 445 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
16 breq1 4807 . . 3 (𝑥 = (𝑁 / 𝐴) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1716elrab 3504 . 2 ((𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝐴) ∥ 𝑁))
1815, 17sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {crab 3054   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  0cc0 10128   / cdiv 10876  ℕcn 11212   ∥ cdvds 15182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-z 11570  df-dvds 15183 This theorem is referenced by:  dvdsflip  15241  fsumdvdsdiaglem  25108  fsumdvdsdiag  25109  fsumdvdscom  25110  muinv  25118  logsqvma  25430  logsqvma2  25431  selberg  25436  selberg34r  25459  pntsval2  25464  pntrlog2bndlem1  25465
 Copyright terms: Public domain W3C validator