Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflip 14963
 Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
dvdsflip.f 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dvdsflip (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2 dvdsflip.a . . . . 5 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
32eleq2i 2690 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
4 dvdsdivcl 14962 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
53, 4sylan2b 492 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
65, 2syl6eleqr 2709 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
72eleq2i 2690 . . . 4 (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
8 dvdsdivcl 14962 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
97, 8sylan2b 492 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
109, 2syl6eleqr 2709 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
11 ssrab2 3666 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
122, 11eqsstri 3614 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℕ
1312sseli 3579 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℕ)
1412sseli 3579 . . . . 5 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℕ)
1513, 14anim12i 589 . . . 4 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
16 nncn 10972 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
18 nncn 10972 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
1918ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20 nncn 10972 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
2120ad2antll 764 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
22 nnne0 10997 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
2322ad2antll 764 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ≠ 0)
2417, 19, 21, 23divmul3d 10779 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
25 nnne0 10997 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
2625ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
2717, 21, 19, 26divmul2d 10778 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
2824, 27bitr4d 271 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
2915, 28sylan2 491 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
30 eqcom 2628 . . 3 (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
31 eqcom 2628 . . 3 (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
3229, 30, 313bitr4g 303 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
331, 6, 10, 32f1o2d 6840 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  –1-1-onto→wf1o 5846  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880   · cmul 9885   / cdiv 10628  ℕcn 10964   ∥ cdvds 14907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-z 11322  df-dvds 14908 This theorem is referenced by:  phisum  15419  fsumdvdscom  24811
 Copyright terms: Public domain W3C validator