MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsle 15079
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑁 < 𝑀𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
2 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · 𝑀) = (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
32neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁))
41, 3imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁) ↔ (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁)))
5 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ↔ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
6 neeq2 2886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
75, 6imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
8 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) = (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
98neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ↔ (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
109imbi2d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
11 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
1211elimel 4183 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ∈ ℤ
13 1nn 11069 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
1413elimel 4183 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
1511elimel 4183 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) ∈ ℤ
1612, 14, 15dvdslelem 15078 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))
174, 7, 10, 16dedth3h 4174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
18173expia 1286 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
1918com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
20193impia 1280 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
2120imp 444 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
2221neneqd 2828 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
2322nrexdv 3030 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24 nnz 11437 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25 divides 15029 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
2624, 25sylan2 490 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27263adant3 1101 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
2823, 27mtbird 314 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀𝑁)
29283expia 1286 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀𝑁))
3029con2d 129 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
31 zre 11419 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32 nnre 11065 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
33 lenlt 10154 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3431, 32, 33syl2an 493 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3530, 34sylibrd 249 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  ifcif 4119   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  cz 11415  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  15080  dvdsssfz1  15087  fzm1ndvds  15091  fzo0dvdseq  15092  n2dvds1  15151  gcd1  15296  bezoutlem4  15306  dfgcd2  15310  gcdzeq  15318  bezoutr1  15329  lcmgcdlem  15366  qredeq  15418  isprm3  15443  prmdvdsfz  15464  isprm5  15466  maxprmfct  15468  isprm6  15473  prmfac1  15478  ncoprmlnprm  15483  pcpre1  15594  pcidlem  15623  pcprod  15646  pcfac  15650  pockthg  15657  prmreclem1  15667  prmreclem3  15669  prmreclem5  15671  1arith  15678  4sqlem11  15706  prmolelcmf  15799  gexcl2  18050  sylow1lem1  18059  sylow1lem5  18063  gexex  18302  ablfac1eu  18518  ablfaclem3  18532  znidomb  19958  dvdsflsumcom  24959  chtublem  24981  vmasum  24986  logfac2  24987  bposlem6  25059  lgsdir  25102  lgsdilem2  25103  lgsne0  25105  lgsqrlem2  25117  lgsquadlem2  25151  2sqlem8  25196  2sqblem  25201  2sqmod  29776  oddpwdc  30544  nn0prpw  32443  nznngen  38832  etransclem41  40810
  Copyright terms: Public domain W3C validator