MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsle 15648
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑁 < 𝑀𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
2 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · 𝑀) = (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
32neeq1d 3072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁))
41, 3imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁) ↔ (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁)))
5 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ↔ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
6 neeq2 3076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
75, 6imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
8 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) = (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
98neeq1d 3072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ↔ (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
109imbi2d 342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
11 1z 12000 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
1211elimel 4530 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ∈ ℤ
13 1nn 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
1413elimel 4530 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
1511elimel 4530 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) ∈ ℤ
1612, 14, 15dvdslelem 15647 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))
174, 7, 10, 16dedth3h 4521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
18173expia 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
1918com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
20193impia 1109 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
2120imp 407 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
2221neneqd 3018 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
2322nrexdv 3267 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24 nnz 11992 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25 divides 15597 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
2624, 25sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27263adant3 1124 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
2823, 27mtbird 326 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀𝑁)
29283expia 1113 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀𝑁))
3029con2d 136 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
31 zre 11973 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32 nnre 11633 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
33 lenlt 10707 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3431, 32, 33syl2an 595 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3530, 34sylibrd 260 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  ifcif 4463   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  cz 11969  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  15649  dvdsssfz1  15656  fzm1ndvds  15660  fzo0dvdseq  15661  n2dvds1OLD  15706  gcd1  15864  bezoutlem4  15878  dfgcd2  15882  gcdzeq  15890  bezoutr1  15901  lcmgcdlem  15938  qredeq  15989  isprm3  16015  prmdvdsfz  16037  isprm5  16039  maxprmfct  16041  isprm6  16046  prmfac1  16051  ncoprmlnprm  16056  pcpre1  16167  pcidlem  16196  pcprod  16219  pcfac  16223  pockthg  16230  prmreclem1  16240  prmreclem3  16242  prmreclem5  16244  1arith  16251  4sqlem11  16279  prmolelcmf  16372  gexcl2  18643  sylow1lem1  18652  sylow1lem5  18656  gexex  18902  ablfac1eu  19124  ablfaclem3  19138  znidomb  20636  dvdsflsumcom  25692  chtublem  25714  vmasum  25719  logfac2  25720  bposlem6  25792  lgsdir  25835  lgsdilem2  25836  lgsne0  25838  lgsqrlem2  25850  lgsquadlem2  25884  2sqlem8  25929  2sqblem  25934  2sqmod  25939  oddpwdc  31511  nn0prpw  33568  nznngen  40525  etransclem41  42437
  Copyright terms: Public domain W3C validator