Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslegcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslegcd 15150
 Description: An integer which divides both operands of the gcd operator is bounded by it. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdslegcd (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem dvdslegcd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧}
2 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}
31, 2gcdcllem3 15147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))))
43simp3d 1073 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
5 gcdn0val 15144 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
65breq2d 4625 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
74, 6sylibrd 249 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
87com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
983expb 1263 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
109com12 32 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
1110exp4b 631 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))))
1211com23 86 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))))
1312impcom 446 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
14133impb 1257 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
1514imp 445 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911  {cpr 4150   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  supcsup 8290  ℝcr 9879  0cc0 9880   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℤcz 11321   ∥ cdvds 14907   gcd cgcd 15140 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141 This theorem is referenced by:  nndvdslegcd  15151  gcd0id  15164  gcdneg  15167  gcdaddmlem  15169  bezoutlem4  15183  gcdzeq  15195  rpdvds  15298  coprm  15347  phimullem  15408  pockthlem  15533  2sqlem8a  25050  2sqlem8  25051
 Copyright terms: Public domain W3C validator