MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdslelem 14966
Description: Lemma for dvdsle 14967. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1 𝑀 ∈ ℤ
dvdslelem.2 𝑁 ∈ ℕ
dvdslelem.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11335 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 9992 . . . . 5 0 ∈ ℝ
4 lelttric 10096 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
52, 3, 4mp2an 707 . . . 4 (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾)
6 zgt0ge1 11383 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
87orbi2i 541 . . . 4 ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
95, 8mpbi 220 . . 3 (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)
10 le0neg1 10488 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
112, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾)
12 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℕ
1312nngt0i 11006 . . . . . . . . . . 11 0 < 𝑁
1412nnrei 10981 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℝ
15 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℤ
1615zrei 11335 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℝ
173, 14, 16lttri 10115 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1813, 17mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀)
193, 16ltlei 10111 . . . . . . . . . 10 (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀)
212renegcli 10294 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℝ
2221, 16mulge0i 10527 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ -𝐾 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2320, 22sylan2 491 . . . . . . . 8 ((0 ≤ -𝐾𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2411, 23sylanb 489 . . . . . . 7 ((𝐾 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2524expcom 451 . . . . . 6 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
262, 16remulcli 10006 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ
27 le0neg1 10488 . . . . . . . 8 ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
292recni 10004 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℂ
3016recni 10004 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℂ
3129, 30mulneg1i 10428 . . . . . . . 8 (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀)
3231breq2i 4626 . . . . . . 7 (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀))
3328, 32bitr4i 267 . . . . . 6 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
3425, 33syl6ibr 242 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0))
3526, 3, 14lelttri 10116 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ∧ 0 < 𝑁) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3613, 35mpan2 706 . . . . 5 ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3734, 36syl6 35 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
38 lemulge12 10838 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
3916, 2, 38mpanl12 717 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4020, 39sylan 488 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4140ex 450 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)))
4214, 16, 26ltletri 10117 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝑀𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀)) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
4342ex 450 . . . . 5 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4441, 43syld 47 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 → (1 ≤ 𝐾𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4537, 44orim12d 882 . . 3 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
469, 45mpi 20 . 2 (𝑁 < 𝑀 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4726, 14lttri2i 10103 . 2 ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4846, 47sylibr 224 1 (𝑁 < 𝑀 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  -cneg 10219  cn 10972  cz 11329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330
This theorem is referenced by:  dvdsle  14967
  Copyright terms: Public domain W3C validator