Theorem dvdsnprmd 16028

Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less than the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsnprmd.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnprmd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsnprmd.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)
2		dvdszrcl 15606	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		divides 15603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5		2z 12008	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		dvdsnprmd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
9	8	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
10	9	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11		breq2 5062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
12	11	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
13	10, 12	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14		dvdsnprmd.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
15		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19		0lt1 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 1
20		0red 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		lttr 10711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
24	19, 23	mpani 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
25	24	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26	25	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
27	16, 18, 26	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28	27	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
29	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
30	1, 2, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
31	14, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
32	31	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
33	32	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34		ltmulgt12 11495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
36	13, 35	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37		df-2 11694	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
38	37	breq1i 5065	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39		1zzd 12007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40		zltp1le 12026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
41	39, 40	mpancom 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
42	41	bicomd 225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
43	42	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
44	43	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
45	38, 44	syl5bb 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
46	36, 45	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47		eluz2 12243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
48	6, 7, 46, 47	syl3anbrc 1339	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
49	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51		1zzd 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52		zltp1le 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
53	51, 52	mpancom 686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
54	53	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
55	37	breq1i 5065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
56	54, 55	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
57	49, 50, 56	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
58	57	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
59	58	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
60	1, 2, 59	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
61	14, 60	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62		eluz2 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
63	61, 62	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	63	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
65	64	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
66		nprm 16026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
67	48, 65, 66	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
69	68	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
70	69	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
71	67, 70	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
72	71	rexlimdva2 3287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
73	4, 72	sylbid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
74	1, 73	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670  2c2 11686  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16010

This theorem is referenced by:  2pwp1prm  43745