MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnprmd 15450
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l (𝜑𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d (𝜑𝐴𝑁)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (𝜑𝐴𝑁)
2 dvdszrcl 15032 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 15029 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝑁)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1310, 12mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 𝐴)
15 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18173ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
20 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 lttr 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2419, 23mpani 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
2524imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26253adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
2716, 18, 263jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28273exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
301, 2, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
3114, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
3231imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34 ltmulgt12 10922 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3613, 35mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37 df-2 11117 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3837breq1i 4692 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4139, 40mpancom 704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4241bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4538, 44syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4636, 45mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47 eluz2 11731 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1265 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5351, 52mpancom 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5453biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
5537breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
5654, 55sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
5749, 50, 563jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
5857ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
601, 2, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
6114, 60mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62 eluz2 11731 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6361, 62sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6463adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6564adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
66 nprm 15448 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
6748, 65, 66syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68 eleq1 2718 . . . . . . . 8 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
6968notbid 307 . . . . . . 7 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7069adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7167, 70mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
7271ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7372rexlimdva 3060 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
744, 73sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
751, 74mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  cdvds 15027  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433
This theorem is referenced by:  2pwp1prm  41828
  Copyright terms: Public domain W3C validator