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Theorem dvdsprmpweqle 15763
Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprmpweqle ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqle
StepHypRef Expression
1 dvdsprmpweq 15761 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
21imp 444 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛))
3 nn0re 11464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
54adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0re 11464 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
75, 6anim12i 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
87ancomd 466 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
98adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
10 lelttric 10307 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑛𝑁𝑁 < 𝑛))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑛𝑁𝑁 < 𝑛))
12 breq1 4795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁)))
1312adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁)))
14 prmnn 15561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
16153ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
18 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1917, 18nn0expcld 13196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
2114nncnd 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
22213ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
2414nnne0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 0)
25243ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
27 nn0z 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
2923, 26, 28expne0d 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ≠ 0)
30 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3217, 31nn0expcld 13196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3332nn0zd 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
34 dvdsval2 15156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑛) ≠ 0 ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) ↔ ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ))
3520, 29, 33, 34syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) ↔ ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ))
3621, 24jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
37363ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
38 nn0z 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
39383ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4039, 27anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
41 expsub 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑁𝑛)) = ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)))
4241eqcomd 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) = (𝑃↑(𝑁𝑛)))
4337, 40, 42syl2an2r 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) = (𝑃↑(𝑁𝑛)))
4443eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ ↔ (𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ))
4523adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℂ)
46 nn0cn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
47463ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
49 nn0cn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
5148, 50subcld 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑛) ∈ ℂ)
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁𝑛) ∈ ℂ)
5347, 49anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
55 negsubdi2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → -(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁))
5730anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0))
5857ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
59 ltsubnn0 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
6160imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
6256, 61eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁𝑛) ∈ ℕ0)
63 expneg2 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑛) ∈ ℂ ∧ -(𝑁𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑁𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))))
6445, 52, 62, 63syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑁𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))))
6564eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ ↔ (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ))
6614nnred 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
67663ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℝ)
7069, 61reexpcld 13190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ)
71 znnsub 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ))
7240, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ))
7372biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ)
74 prmgt1 15582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
75743ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < 𝑃)
78 expgt1 13063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁)))
7969, 73, 77, 78syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁)))
8070, 79jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁))))
81 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → (𝑃↑-(𝑁𝑛)) = (𝑃↑(𝑛𝑁)))
8281eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ↔ (𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ))
8381breq2d 4804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → (1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛)) ↔ 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁))))
8482, 83anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → (((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ↔ ((𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁)))))
8580, 84syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛)))))
8656, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛))))
87 recnz 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛))) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ)
8988pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ → 𝑛𝑁))
9065, 89sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛𝑁))
9190ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛𝑁)))
9291com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9344, 92sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9435, 93sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9613, 95sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9796ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁))))
9897com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁))))
9998ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))))
10099com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))))
101100imp41 620 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁))
102101com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 < 𝑛 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝑛𝑁))
103102jao1i 860 . . . . . . 7 ((𝑛𝑁𝑁 < 𝑛) → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝑛𝑁))
10411, 103mpcom 38 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝑛𝑁)
105 simpr 479 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝐴 = (𝑃𝑛))
106104, 105jca 555 . . . . 5 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛)))
107106ex 449 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
108107reximdva 3143 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
1092, 108mpd 15 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛)))
110109ex 449 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  -cneg 10430   / cdiv 10847  cn 11183  0cn0 11455  cz 11540  cexp 13025  cdvds 15153  cprime 15558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-prm 15559  df-pc 15715
This theorem is referenced by:  odz2prm2pw  41954
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