Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr02 18702
 Description: Only zero is divisible by zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d = (∥r𝑅)
dvdsr0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsr02 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr02
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsr0.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18615 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
43adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
5 dvdsr0.d . . . 4 = (∥r𝑅)
6 eqid 2651 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
71, 5, 6dvdsr2 18693 . . 3 ( 0𝐵 → ( 0 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋))
84, 7syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋))
91, 6, 2ringrz 18634 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 0 )
109eqeq1d 2653 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋0 = 𝑋))
11 eqcom 2658 . . . . . 6 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
1210, 11syl6bb 276 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
1312rexbidva 3078 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
14 ringgrp 18598 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
151grpbn0 17498 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
16 r19.9rzv 4098 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
1714, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
1813, 17bitr4d 271 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
1918adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
208, 19bitrd 268 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋𝑋 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  Ringcrg 18593  ∥rcdsr 18684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-dvdsr 18687 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator