MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul 19327
Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2 = (∥r𝑅)
dvdsr.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
2 simpr 485 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
3 eqid 2818 . . 3 (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
54eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
65rspcev 3620 . . 3 ((𝑌𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
72, 3, 6sylancl 586 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8 dvdsr.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 dvdsr.2 . . 3 = (∥r𝑅)
10 dvdsr.3 . . 3 · = (.r𝑅)
118, 9, 10dvdsr 19325 . 2 (𝑋 (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
121, 7, 11sylanbrc 583 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑌 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  rcdsr 19317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-dvdsr 19320
This theorem is referenced by:  dvdsrid  19330  dvdsrtr  19331  dvdsrmul1  19332  dvdsrneg  19333  unitmulclb  19344  unitgrp  19346  isdrng2  19441  subrguss  19479  subrgunit  19482  fidomndrnglem  20007  invrvald  21213  dvdsq1p  24681  matunitlindflem2  34770
  Copyright terms: Public domain W3C validator