Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrtr 18698
 Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2 = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsrtr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑍𝑍 𝑋) → 𝑌 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrtr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsr.2 . . . . . 6 = (∥r𝑅)
3 eqid 2651 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
41, 2, 3dvdsr 18692 . . . . 5 (𝑌 𝑍 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍))
51, 2, 3dvdsr 18692 . . . . 5 (𝑍 𝑋 ↔ (𝑍𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋))
64, 5anbi12i 733 . . . 4 ((𝑌 𝑍𝑍 𝑋) ↔ ((𝑌𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)))
7 an4 882 . . . 4 (((𝑌𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)) ↔ ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)))
86, 7bitri 264 . . 3 ((𝑌 𝑍𝑍 𝑋) ↔ ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)))
9 reeanv 3136 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑥𝐵 ((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) ↔ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋))
10 simplrl 817 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑌𝐵)
11 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
13 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑦𝐵)
141, 3ringcl 18607 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
1511, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
161, 2, 3dvdsrmul 18694 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → 𝑌 ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑌))
1710, 15, 16syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑌 ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑌))
181, 3ringass 18610 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑌) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)))
1911, 12, 13, 10, 18syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑌) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)))
2017, 19breqtrd 4711 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → 𝑌 (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)))
21 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 ((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 → (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)) = (𝑥(.r𝑅)𝑍))
22 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋 → (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)
2321, 22sylan9eq 2705 . . . . . . . 8 (((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)) = 𝑋)
2423breq2d 4697 . . . . . . 7 (((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑌 (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑌)) ↔ 𝑌 𝑋))
2520, 24syl5ibcom 235 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 𝑋))
2625rexlimdvva 3067 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (∃𝑦𝐵𝑥𝐵 ((𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 𝑋))
279, 26syl5bir 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 𝑋))
2827expimpd 628 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅)𝑍) = 𝑋)) → 𝑌 𝑋))
298, 28syl5bi 232 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 𝑍𝑍 𝑋) → 𝑌 𝑋))
30293impib 1281 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑍𝑍 𝑋) → 𝑌 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  Ringcrg 18593  ∥rcdsr 18684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-dvdsr 18687 This theorem is referenced by:  dvdsunit  18709  unitmulcl  18710  unitnegcl  18727
 Copyright terms: Public domain W3C validator