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Theorem dveflem 23463
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 14624, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9888 . . 3 0 ∈ ℂ
2 eqid 2609 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 22329 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
42cnfldtopon 22328 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
54toponunii 20489 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
65ntrtop 20626 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
73, 6ax-mp 5 . . 3 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
81, 7eleqtrri 2686 . 2 0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ)
9 ax-1cn 9850 . . 3 1 ∈ ℂ
10 1rp 11668 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
11 ifcl 4079 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
1210, 11mpan2 702 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
13 eldifsn 4259 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
14 simprl 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
1514subid1d 10232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
1615fveq2d 6092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
1716breq1d 4587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ (abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)))
1814abscld 13969 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
19 rpre 11671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2019adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 1red 9911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 1 ∈ ℝ)
22 ltmin 11858 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2417, 23bitrd 266 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
25 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
2625, 13sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
2827oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤𝑧 = 𝑤)
3028, 29oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
31 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
32 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
3534oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
3635fveq2d 6092 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
37 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
38 efcl 14598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
40 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
4139, 40subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
42 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ≠ 0)
4341, 37, 42divcld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
4443, 40subcld 10243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
4544abscld 13969 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
4637abscld 13969 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
47 simpll 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4847rpred 11704 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
49 abscl 13812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
5049ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
5138ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
52 subcl 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5351, 9, 52sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
54 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
55 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ≠ 0)
5653, 54, 55divcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
57 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
5856, 57subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5958abscld 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
6050, 59remulcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
6150resqcld 12852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
62 3re 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
63 4nn 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
64 nndivre 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
6562, 63, 64mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℝ
66 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6761, 65, 66sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6853, 54subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
6968, 54, 55divcan2d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
7053, 54, 54, 55divsubdird 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
7154, 55dividd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
7271oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7370, 72eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7473oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
7551, 57, 54subsub4d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
76 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))
77 df-2 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 = (1 + 1)
78 1nn0 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℕ0
79 1e0p1 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 = (0 + 1)
80 0nn0 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℕ0
81 0cnd 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
8276efval2 14599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
8382ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
84 nn0uz 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (ℤ‘0)
8584sumeq1i 14222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
8683, 85syl6req 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
8786oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
8851addid2d 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
8987, 88eqtr2d 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
90 eft0val 14627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9190ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9291oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
9392, 79syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
9476, 79, 80, 54, 81, 89, 93efsep 14625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
95 exp1 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
9695ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
9796oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
98 fac1 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (!‘1) = 1
9998oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
10097, 99syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
101 div1 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
102101ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
103100, 102eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
104103oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
10576, 77, 78, 54, 57, 94, 104efsep 14625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
106105eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (exp‘𝑤))
107 addcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
1089, 54, 107sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
109 2nn0 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ0
11076eftlcl 14622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
11154, 109, 110sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
11251, 108, 111subaddd 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (exp‘𝑤)))
113106, 112mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11475, 113eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11569, 74, 1143eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
116115fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
11754, 58absmuld 13987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
118116, 117eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
119 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
120 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
121 2nn 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
123 1red 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
124 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
12550, 123, 124ltled 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
12676, 119, 120, 122, 54, 125eftlub 14624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
127118, 126eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
128 df-3 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
129 fac2 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (!‘2) = 2
130129oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
131 2t2e4 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
132130, 131eqtr2i 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 = ((!‘2) · 2)
133128, 132oveq12i 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
134133oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
135127, 134syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
13665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
13750sqge0d 12853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
138 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
139 3lt4 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 < 4
140 4cn 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℂ
141140mulid1i 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 1) = 4
142139, 141breqtrri 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 < (4 · 1)
143 4re 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
144 4pos 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 4
145143, 144pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
146 ltdivmul 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
14762, 138, 145, 146mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
148142, 147mpbir 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 / 4) < 1
14965, 138, 148ltleii 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 / 4) ≤ 1
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
151136, 123, 61, 137, 150lemul2ad 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
15250recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
153152sqcld 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
154153mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
155151, 154breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
15660, 67, 61, 135, 155letrd 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
157152sqvald 12822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
158156, 157breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
159 absgt0 13858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
160159ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
16155, 160mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
16250, 161elrpd 11701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ+)
16359, 50, 162lemul2d 11748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
164158, 163mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
165164ad2ant2l 777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
166 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
16745, 46, 48, 165, 166lelttrd 10046 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
16836, 167eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
169168ex 448 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
17024, 169sylbid 228 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
171170adantld 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
17213, 171sylan2b 490 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
173172ralrimiva 2948 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
174 breq2 4581 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)))
175174anbi2d 735 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1))))
176175imbi1d 329 . . . . . . 7 (𝑦 = if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥) ↔ ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
177176ralbidv 2968 . . . . . 6 (𝑦 = if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
178177rspcev 3281 . . . . 5 ((if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
17912, 173, 178syl2anc 690 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
180179rgen 2905 . . 3 𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
181 eldifi 3693 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
182 efcl 14598 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
183181, 182syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
184 1cnd 9912 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 1 ∈ ℂ)
185183, 184subcld 10243 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
186 eldifsni 4260 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
187185, 181, 186divcld 10650 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
18831, 187fmpti 6276 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
189188a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
190 difssd 3699 . . . . 5 (⊤ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
191 0cnd 9889 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
192189, 190, 191ellimc3 23366 . . . 4 (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
193192trud 1483 . . 3 (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
1949, 180, 193mpbir2an 956 . 2 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)
1955restid 15863 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
1963, 195ax-mp 5 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
197196eqcomi 2618 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
198181subid1d 10232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
199198oveq2d 6543 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
200 ef0 14606 . . . . . . . 8 (exp‘0) = 1
201200oveq2i 6538 . . . . . . 7 ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
202201oveq1i 6537 . . . . . 6 (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
203199, 202syl6req 2660 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
204203mpteq2ia 4662 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
205 ssid 3586 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
206205a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
207 eff 14597 . . . . 5 exp:ℂ⟶ℂ
208207a1i 11 . . . 4 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
209197, 2, 204, 206, 208, 206eldv 23385 . . 3 (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0))))
210209trud 1483 . 2 (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)))
2118, 194, 210mpbir2an 956 1 0(ℂ D exp)1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  cdif 3536  wss 3539  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  0cn0 11139  cuz 11519  +crp 11664  cexp 12677  !cfa 12877  abscabs 13768  Σcsu 14210  expce 14577  t crest 15850  TopOpenctopn 15851  fldccnfld 19513  Topctop 20459  intcnt 20573   lim climc 23349   D cdv 23350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-rest 15852  df-topn 15853  df-topgen 15873  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-ntr 20576  df-cnp 20784  df-xms 21876  df-ms 21877  df-limc 23353  df-dv 23354
This theorem is referenced by:  dvef  23464
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